DEUXIEME PARTIE. HYDROSTATIQUE

'durée comme formée du liquide. En considérant ainsi Z, le principe des forces vives donnera l'équation

(i) lv 7 dm = ï’S.dmfT.dz -+- C.

Les vitesses étant supposées très-petites, le premier membre est une quantité très-petite du second ordre, et dans le calcul du second membre, on n’aura le droit de négliger que „ les termes qui n’influeraient sur les résultats que de quantités d’un ordre supérieur au second.

Considérons d’abord les termes du scopud membre qui proviennent du poids des éléments du fcorps. On aura alors

J'Ldz — gz et lldm JZdz — iglidm = 2gM«, ,

z , étant le z du centre de gravité du corps.

Quant à la partie immergée, nous la considérerons d’abord comme composée de la partie comprise entre les sections horizontales LQM, L'NM', et du volume situé audessous de la dernière. Ce dernier volume est lui-môme égal au volume ADB ou V, augmenté du volume INBM 7 , et diminué de LNL'A.

La valeur de z étant actuellement — g, on a fZdz = — g(z — z,),

et celte intégrale restera constamment égale à gz 0 quand z sera négatif, la force Z devenant alors nulle. En reportant gzo dans la constante totale, on écrira seulement

/Z dz = — gz

Si dta désigne l’élément de volume, on aura

dm = pdu et

•zXdmJZdz — — 7.gpjzdu.

Il ne s’agit donc plus qne de calculer, pour les quatre vo

a4l> ' COURS DK MÉCAK1QIIC.

lûmes que nous venons (l'indiquer, J zdo>, qui est le mo-ment, par rapport au plan XY, du volume de la partie plongée, dans la position du corps à une époque quelconque.

Le déplacement étant supposé infiniment petit, les diverses sections que nous avons faites dans le corps peuvent toutes être considérées comme équivalentes à b ; et la portion comprise entre les deux qui sont parallèles, peut être regardée comme cylindrique. Ainsi, pour cette première partie, on aura

J lit ta = ÿ èç 1 .

Pour le volume ADB, on aura

f zrl ta = V ( z, — a cos 9),

ou , en remplaçant cos0 par i — -»

J z ri t» — V z, — V a

si le point O est au-dessus de G; 'dans le cas contraire, il faudrait changer le .signe de a. Le volume LNBM' peut se décomposer en éléments prismatiques, ayant leurs arêtes verticales, et pour bases les éléments de l’aire ANBI.

Soient d 1 un de ces derniers , situé en R ; RS = u la perpendiculaire abaissée sur IN , et RT la hauteur du prisme. Sou volume sera RTrf). cos0, expression qu'on peut remplacer par uOdl; en la multipliant par le z du milieu de RT, qui est f + jH tang 0, ou simplement £-+-{«0, on aura la valeur de J' zd « relativement à cet élément : on trouvera ainsi • -

u OrfÀ (Ç'-H-y «ô),

expression que l'on devra intégrer dans toute l’étendue de l aire INB.

Mais on trouverait une expression semblable pour les éléments du volume INLA, à l’exception du z du milieu du

UYDEOSTATIQUF..