DEUXIEME PARTIE. • — H YDEOSYATIQUE . 2ql

prisme, qui serait égal à £ — -ji/0; et comme les termes provenant <le ce volume doivent être changés (Te signe, ils seraient exprimés par

-- nQdl(ç — ‘i'O)-

Don l'on voit qu’il suffira de faire la somme des termes de la forme

n 0 </À (Ç -f- ^ it 0 )

dans toute 1 étendue de 1 aire AN 151 , en regardant ii comme positif dans la partie lNI5,.et comme négatif dans l’autre. Mais J ml), est nul, puisque IN contient le’ centre de gra- t

vite de l'aire A NUI; il resté donc -fifilï. Désignons par

bh* l’intégrale fu'd'A, qu'on peut appeler le moment d’inertie de l’aire AN 151 par rapporta NI; l’exprcssiou précédente

deviendra •

Réunissant les diverses parties de fzilo), il vient J' z d w = ÿ b Ç’ -h ÿ b/t 1 ô 1 4- V z, — \ a -t- XüJL ,

et l’équation (i) devient, en observant que M=Vp cl comprenant le terme îgpX a dans la constante,

(a) 2 v’ dm = — gpbV — gp (£/r 4 4- nV) O 1 4- c;

si le point O était au-dessous de G, il faudrait, comme nous l’avons fait remarquer, changer a en — a.

La constante c se déterminera par l’état initial ; et si les vitesses initiales sont milles ou iniiniment petites-, c sera elle-même iniiniment petite.

Cela posé, le premier membre de l’équation ( 2 ) étant essentiellement positif, il en sera de même du second, et par conséquent les termes négatifs doivent constamment donner une somme infiniment petite, puisqu'elle doit être

moindre que c; ce qui exige que 0 et £ restent infiniment petits. D’où l’on conclut que, lorsque le centre de gravité du corps est au-dessous du centre de gravité du liquide déplacé dans l'état d’équilibre , le dérangement restera toujours infiniment p'etit , et par conséquent l’équilibre est stable. Mais si le centre de gravité du corps est audessus de celui du liquide déplacé, l’équation ( 2 ) se change dans la suivante :

2 v 2 dm = — g p 6 Ç' — g p ( bh 2 — a V) O 1 -+- c.

Or, quoique c soit iuliniment petit, 9 et Ç pourraient cesser de l’ôtre si tous les termes qui renferment leurs carrés n’étaient pas négatifs. Il est donc nécessaire, pour la stabilité de l’équilibre , que l’on ait

, bh*

b h* — aV^>o, on « <C~y' i

et comme bh * change en même temps que la direction de IN , il faut que l’inégalité précédente ait lieu , en prenant la plus petite valeur dont bh * soit susceptible, quand on suppose que IN prend toutes les directions autour du centre de gravité C de l’aire ANBI. L’équilibre peut donc encore être stable lorsque le centre de gravité du corps est au-dessus de celui du fluide déplacé ; il suffit que la distance de ces deux points soit moindre que le plus petit des moments d'inertie de l’aire de la section à ficur d’eau par rapport aux droites menées par son centre de gravité , divisé par le volume immergé.

Oscillations d'un corps flottant.

159. Supposons qu’un corps symétrique, quanta sa figure et à sa densité, par rapport à un plan vertical , soit écarté infiniment peu de la position où il est en équilibre stable à