DEUXIÈME PARTIE. — HYDROSTATIQUE
la surface d'un liquide , de telle sorte que son plan de symétrie soit resté vertical ; et supposons, en outre, que toutes les vitesses initiales soient nulles.
Il est d’abord évident que tout étant symétrique, tant dans les forces que dans le déplacement, par rapport au même plan vertical, ce plan restera constamment vertical ; et la position du corps sera déterminée à chaque instant, si l’on connaît la position d’un de ses points, par exemple de son centre de gravité, et la direction d’une ligne fixe dans ce corps, par exemple celle qui, dans l’état d’équilibre, contenait les centres de gravité du corps et du liquide déplacé.
Nous emploierons les mêmes dénominations que dans la question précédente, et il s’agira de déterminer QelÇ(Jig..io). Lorsque ces quantités seront connues , la position du centre de gravité le sera aussi. Car, toutes les forces étant verticales, ce point se meut sur la verticale passant par sa position initiale; on pourra donc le construire dès qu’on connaîtra l’angle 0 et la distance £ du point C au niveau du liquide. D’ailleurs l’expression de son ordonnée GF = z, peut facilement s’obtenir. Soient GH = /, CH = p, on aura
z, = l cos 9 — p sin 9 -+- £ ,
ou , en négligeant les infiniment petits d’ordres supérieurs au premier,
Le problème est donc entièrement ramené à la détermination de 0 et £..
Le centre de gravité G se mouvant comme si toute la masse M y était réunie et que toutes les forces y fussent appliquées, on en déduira facilement une première équation entre 0 et £. En effet , il suffira de supposer en G deux forces verticales : l’une égale à M#, et dirigée dans le sens de la
COURS ns MÉCANIQUE.
pesanteur; l’autre, dirigée en sens contraint: cl égale an poids du liquide déplacé. Or, les volumes BC1\I', ACL' étant équivalents , le volume LDM est égal à V bÇ, et son poids est gpX -i-gpbç- et comme M=pY, la résultante de toutes les forces sera — gobÇ. On aura donc
b7T = ~SP^, ou = o,
fit'
ou
rf'O
sb £ 1
Nous obtiendrons une seconde équation en considérant le mouvement de rotation autour du centre de gravité, supposé immobile.
Le poids du corps étant détruit , puisque le centre de gravité est fixe, il ne reste à considérer que la somme des moments des forces provenant de l’action du liquide, et qui sont appliquées, comme nous l’avons déjà dit, à tous les points de la partie immergée du corps.
Le moment résultant de toutes les forces relatives à la partie LML'M', et considéré comme positif lorsqu’il tend à diminuer l’angle 0, est
g p à Ç ( / sin 0 -4 - p cos 8 ) ,
et peut se réduire à gpbpÇ. 11 faut y ajouter les moments provenant de ADB, M'CB, et en retrancher celui qui proviendrait de ACL'.
Or, la résultante des forces verticales appliquées à" tous les points du volume ADB est appliquée en O et égale à gpX ; Je moment résultant sera donc g p\ a sin 0, ou gpaVO.
Si maintenant nous décomposons le volume M'CB comme dans la question précédente, le moment du prisme ayant pour base sera, en désignant par u sa distance à
