I.a formule (4)) appliquée au cas actuel, où l’on a y
DEUXIEME l'AHTIE.
DYNAMIQUE
donne
dO
S 3 \rjrjsin 1 a ]r
Nous distinguerons trois cas , suivant que l'on aura i négatif, nul ou positif. Dans tous les cas, la
r] r J sin’ a vitesse v sera donnée par la formule
c' étant déterminé par les valeurs initiales de v et r.
i°. Soit d’abord t = o , ce qui est le cas le
/■JrJsip'a 1
plus simple; l’équation précédente devient
— =o, d’où - = A0-+-B.
Pour déterminer les constantes A et B , nous" remarquerons qu’au point B, par lequel, pour plus de simplicité, nous ferons passer l’axe polaire , on doit avoir
= — tanga.
Or, pour 0 = o, l’équation de la courbe donne
l rffl
il eu résulter» donc ,,
1 . COt a
■ 8 COURS UE MtuVMgl'P.
cl l'équation de la trajectoire sera
l -t- 0 rot a
Cette courbe est- donc une spirale hyperbolique dont le point A est le pôle.
Si l’angle a est aigu, cot a est positif, et lorsque 0 augmente indéfiniment, le mobile s’approche indéfiniment du pôle A.
Si a est droit , on a
cota = o, el r = n;
la courbe se réduit alors à un cercle. Et l’on peut remarquer une fois pour toutes que , dans toutes les lois d’attraction, si le mobile part avec une vitesse perpendiculaire au rayon vecteur, et telle que le carré de cette vitesse divisé par le rayon vecteur soit égal à la valeur de la force accélératrice qui agit sur lui à cet instant, *il décrira nécessairement d’un mouvement uniforme le cercle qui aurait pour centre le pôle. Car ce cercle serait la trajectoire, en supposant une force constaute égale à cette valeur initiale; mais il peut aussi ôtre considéré comme 4écrit en vertu de la force proposée qui , ne dépendant que de la distance, agira toujours avec la même intensité à tous les points du cercle ; donc , puisque cette courbe peut être considérée comme décrite en vertu de la force proposée, et que celleci ne peut produire qu’un seul mouvement d’après les données initiales, c’est cette courbe même qu’elle fera décrire.
Enfin, si « est obtus, le point ne tend plus vers le pôle, cl Le rayon devient infini pour 6 — — tang « , ce qui donne la direction de l’asymptote.
Cherchons maintenant à exprimer les coordonnées du • •
mobile en fonction du temps.
L’équaliou r* dQ = cdt donne,' en remplaçant r par sa
OKU XI K MK PARTIR.
DYNAMIOUK.
valeur,
d’où
r\,lH c ( i -r 0 cot a,) 1
e col a I -H 0 cot a
en déterminant la constante c' par la condition qu’on ait en même temps t — o , 6 — o , et remplaçant c par sa valeur r 0 ^o sina.on aura • .
v, COS a \ I + 0 cot a / v, COS a '
d’où l’on déduit
r — r, — i’,t cos a ,
et
COt a
i cos a
La valeur de r diminue à mesure que t augmente , et dé-
vient nulle pour t =
v , ros a
; le mobile parviendrait donc
au pôle après cet intervalle de temps, à partir du point de départ. Quant à la valeur correspondante de 0, elle augmente sans limite , et le mobile a fait dans ce même temps une infinité de révolutions autour du pôle.
Si maintenant on cherche les positions qui ont précédé le moment qu’on a pris pour origine du temps, il faut faire e négatif depuis zéro jusqu’à l’infini; rira en croissant depuis r 0 jusqu’à l’infini, et 6 depuis o jusqu’à — — î— qui donne la direction de l’asymptote.
a°. Soit maintenant -p-—— i = — n’ , n étant
r; stn ! a
une quantité réelle.
So roms UF. MÉCANIQUE.
L'équation différentielle de la trajectoire aura pour intégrale
- == A sin n 6 -t- B cos n 6.
En déterminant les constantes A et B d’après les données initiales, on obtient
r e col a . . , sin ( n 9 -4- e )
— ss cos n 8 h sut n 9 =. ■>
r n . sin i
rot a •
en posant —j— = col e.
Si l'on veut connaître le point où le mobile sera le plus près du pôle, il faut rendre - le plus gi-and possible , ce qui
se fera en posant sin (n 9 - h s) — i , ou
d’où
on en déduit
r = r, sin t et n 6 -t- i = - 1
tang n 0 = cot c :
cot a
comme on l’aurait trouvé en posant = o.
A partir de cette valeur particulière, si l’on augmente ou qu’on diminue 0 de quantités égales, sin [h 0 -J- e) recevra les mêmes valeurs, et, par conséquent, la courbe est symétrique par rapport à la direction du rayon vecteur minimum. . ‘
La valeur de /-deviendra infinie lorsqu’on aura sin ( n 0 -H c ) = p, ou n 0 -h i = m t ,
