DEUXIEME PARTIE. — DYNAMIQUE

m désignant un nombre entier quelconque; on aura alors * tang n 0 =z — tang « = — n tang a.

La plus petite valeur de 9 qui satisfera à celte équation donnera la direction vers laquelle tendra le rayon vecteur Cri croissant indéfiniment; mais on ne l’obtiendra qu’après un temps infini, comme on le reconnaîtrait facilement en exprimant t en fonction de 0, d’après l’équation

r 7 d 9 — CiU.

3°. Supposons, en dernier lieu, t = «*.

rr ’ r\ ej sin’a

En intégrant l’équation différentielle de la trajectoire,

on trouvera d’abord

I=Ae , 8 +Bc-' ,s ,

et en déterminant les constantes A et B d’après l’état initial, on obtiendra

2 r, / cota\ / cot a\ „„

On voit par là que, 9 croissant indéfiniment, r tendra vers

zéro.

Si , pour plus de simplicité, on suppose a = on aura

Cette spirale sera symétrique par rapport à l’axe polaire; ses deux branches auront le pôle pour asymptote, et il est facile de voir que le mobile y parviendra après un temps fini. En effet, de l’équation

r’d 9 = cdt

on tire

4 r\‘l* 4 r\e ln0 dO

d’où

net 1 f .

Déterminons la constante C, par la condition qu'on ait à la fois <=0,0 = 0, on trouvera

Or, 0 croit indéfiniment à mesure que < s’approche de

ainsi le mobile parvient au pôle au bout de ce temps.

Si l’on cherche le mouvement qui a précédé l’époque prise pour origine du temps, il faut supposer < négatif; l’équation précédente donnera alors 0 négatif, et l’on trou-

vera 0 = — co lorsque l’on aura t = — -*- •> comme on pouvait le prévoir.

Il est un cas particulier qui mérite d’ôtre remarqué : c’est celui où il n’entre qu’une seule exponentielle dans l’équation de la trajectoire, qui devient alors une spirale logarithmique. Ce cas a lieu quand 011 a

, cot a = ± n.

Supposons , par exemple, cot a = — n. On a pour l’équation de la trajectoire

C’est ce qu'on aurait pu reconnaître immédiatement au