DEUXIÈME PARUE. — HYDROSTATIQUE

d'où I on déduira facilement les valeurs de 0 et £ eu fonction de t , et des constantes c, c', qui se détermineront par les valeurs initiales de £ et 0.

1(52. On peut remarquer que si , à partir de C, on porte sur la droite AB deux longueurs égales à X, , X, , d’un côté ou de l’autre suivant les signes de ces quantités, on aura deux points dont les distances au niveau du liquide seront exprimées respectivement par

Ç-HX,8 et Ç4-X.0; •

et, d’après les valeurs, de ces deux expressions en fonction de t , le mouvement vertical de chacun de ces deux points sera le môme que celui d’un pendule simple. Cette remarque curieuse a été faite, je crois, par M. Cauchy.

163. L’équation JX* 4- (a — o) X — o/t — o aura ses deux racines réelles et de signes contraires , lorsque G sera au-dessous de O , parce que 6 et d seront positifs. Pour connaître le signe de o. -+- X d, on posera

et l’on aura

f — («4-6) jr-h — =o,

équation donl-les deux racines sont positives, de sorte que la valeur de x sera de la forme que nous avons supposée , et le déplacement restera infiniment petit. •

Si G est au-dessus de O et que l’on ait b h* — a V ]> o, o restera positif et les deux valeurs de X sont réelles et de signes contraires; on trouve encore « -4- Xd > o, et le déplacement reste toujours infiniment petit comme cela devait être, puisque la condition de stabilité de l’équilibre est remplie.

Mais si , G étant au-dessus de O, on a bh 1 — . «V<o,6

256 COURS or. MÉCANIQUE.

est négatif, et l’une des valeurs de « + Xd est négative. Les valeurs de 0 et £ renferment alors des exponentielles et ne restent plus très-petites; de sorte que les calculs précédents ne s’y appliquent plus. C’est, en cfTet, le cas où nous avions déjà démontré que l’équilibre est instable.

161. Les équations (3) , relatives au cas où le corps est symétrique par rapport à deux plans, montrent que si la valeur initiale de £ est nulle, on a « = o, et que par conséquent £ est constamment nul. Alors le centre de gravité reste immobile , et il n’y a qu’un mouvement de rotation autour d’un axe passant par ce point; de plus, le volume d’eau déplacé reste constant , puisque le point C est toujours à la surface du liquide.

Les équations (4) » relatives à un seul plan de symétrie, démontrent que, lors même que la valeur initiale dc£ serait zéro, ce qui est le cas où le volume d'eau déplacé après le dérangement serait égal à V, on n’a pas constamment £ = o, et par conséquent le. volume immergé ne restera pas égal à V .

166. Dans les premières recherches sur la stabilité de l’équilibre des corps flottants, on considérait un point particulier qu’on nommait wétacerttre , et que nous allons faire connaître, parce qu’on en fait encore usage aujourd’hui .

Lor£ju’un corps symétrique par rapport à un plan vertical est dérangé infiniment peu de sa position d'équilibre, il est sollicité par son poids et par la pression du liquide qui se réduit à une force verticale passant par le centre de gravité du liquide déplacé. Or, si la droite GH est rencontrée par la direction de cette force au-dessus de G , le corps tendra à reprendre sa première position , et si la rencontre a lieu au-dessous, il tendra à s’écarter de sa position