DEUXIÈME PARTIE. — HYDROSTATIQUE
d’équilibre. D’où l'on concluait que l’équilibre était stable dans le premier cas , et instable dans le second. Quant à ce point de rencontre que l’on nommait métacentre , on le déterminait en supposant que le volume de liquide déplacé était équivalent à celui qui se rapportait à la position d’équilibre, ou que du moins on pouvait négliger son accroissement infiniment petit, sans qu’il en résultât aucune erreur sur la limite du point de rencontre des deux droites.
Cette théorie est défectueuse, parce que le volume infiniment petit que l'on négligeait, bien qu'il ne déplace qu’infiuiinent peu le centre de gravité du liquide, fait cependant varier d’une quantité finie la position du point de rencontre des deux droites, qui font entre elles un angle infiniment petit (i). Il faudrait donc suivre les différentes positions de ce point dans le mouvement du corps; ce qui ne peut se faire que quand le problème est résolu, et que l'on n’a plus besoin de savoir si les écarts restent infiniment petits. Mais ce qu’il est bon de remarquer, c’est que lors mômeque l’équilibre est stable, le point de rencontre en question se trouve tantôt au-dessus et tantôt au-dessous ilu centre de gravité du corps, excepté dans le cas particulier où la droite GO passe par le centre de gravité de la section à fleur d’eau. Or, il est clair que, si l'on avait su cela, on aurait renoncé à une démonstration qui aurait prouvé ausài bien la stabilité que l'instabilité de l’équilibre. Néanmoins il y a cela de remarquable, que le point de rencontre que l’on déterminait dans l’hypothèse inexacte où l'on aurait pu considérer le volume immergé comme con-, stant, donne la véritable condition de stabilité. Les effets du déplacement de ce point sur la droite GH de part et d'autre de G ne peuvent renverser le corps que quand le
‘ * )' Joui turl dé I fàrolt Polj'lcchnufuc , niv e cahioi*'.
li.'
ai>8 COUDS DE MÉCANIQUE. ■
métacçntrc est au-dessous de G. Mais c'est ce qu’au ne pouvait établir que par une analyse semblable à celle dont nous avons fait usage.
1(M3. si implication à l'ellipsoïde. — Commençons par chercher la condition de stabilité de l’équilibre d’un ellipsoïde homogène flottant sur un liquide. et dérangé infiniment peu, mais d’une manière quelconque, de sa position d’équilibre. Soient A, B, C (fig- it) les trois demi-axes de l’ellipsoïde, D sa densité, G le centre de l’ellipsoïde, U le centre de gravité du volume immergé LMA , qui sera nécessairement au-dessous de G. Supposons que l’axe vertical AA' soit celui dont la longueur est 2 A, et que l’on ait B ^>C; conservons, du reste, toutes les dénominations précédentes.
La condition de stabilité de l’équilibre est bh* «V, bit ,* étant le moment d’inertie de l’aire de la section LM par rapport à la droite menée par son centre, qui donne le moment minimum. Celle droite est le plus grand des deux axes principaux de l’ellipse; c’est donc celui qui est parallèle à l’axe 2 B.
Si l’on désigne AB par .r, l’équation qui en déterminera la valeur sera
<JÜ‘ = (3A P
Elle exprime que le poids de l'ellipsoïde est égal à celui du liquide déplacé, dont le volume est
V — -tJ— -( 3A — -r]’. ■ •*
Le théorème des moments fait connaître immédiatement la valeur de n V, qui est
REVXIKHK PARTIR. — HYDROSTATIQl.'K.
Les demi-axes de la section l.M ont pour valeur
- v IAj — T 7 A v
et - \J ?.Ax — x 3 ;
le premier est parallèle à l’axe a U, le second à l’axe aC de l' ellipsoïde, et ce dernier est le plus petit.
Or, le moment d’inertie d’une ellipse ayant pour demi-, axes ar, 6 est, par rapport à la direction de l’axe 6,
jr6 a’
donc le moment d’inertie minimum de l’aire LM sera rBC 1 , . • ,
et la condition de stabilité est qqc cette expression soit plus grande que a V ; ce qui donne, eh supprimant les facteurs
communs .
C’> A’, ou > A ;
mais comme on a déjà B > C, la condition de la xlabilité de l’équilibre se réduit à ce que l’axe vertical de l'ellipsoïde soit le plus petit des trois.
1(57. Cela posé, déterminons les oscillations de I ellipsoïde, en supposant que le plan des axes a A, a C reste vertical, et que l’on ait A C.
Il faudra commencer par résoudre l’équation (i).
On reconnaît immédiatement qu’elle n’a qu’une seule racine positive comprise entre o et a A , et c’est celle qui se rapporte à la question. Cette racine étant connue, a le sera, ainsi que l'aire /> de la section LM, et son montent d’inertie />//’, qui a pour valeur
n BC
aiio codas or. mécaiuqoz.
Les équations du mouvement de l’ellipsoïde seront dont
tl . 3g p(aAJ - j 1 ) de + 4a’d
1 5 g P (C 1 — A’ ) (2 A x — x'Y Q de iGDA^C 1 + A ! )
Dans le cas particulier où l'on aurait p = 2 D, il en résu!- • lerait .r = A, et les équations du mouvement se rédui-
raient à
rf? + 8 A (C : + A*) 0 ~ °
Dans ce cas, les deux mouvements de translation et de rotation s’accompliraient dans la même période de temps si l’on avait C = 3 A.
Equilibre d un mélange de <jca pesants.
1G8. Considérons un cylindre vertical indéfini renfermant plusieurs gaz pesants , et fermé à sa base située à la surface de la terre, à la distance rdc son centre. Supposons la température coustanlc dans toute l’étendue du cylindre, et la pesanteur variable en raison inverse du carré de la distance au Centre de la terre.
L'expérience a montré que, lorsque plusieurs gaz sont placés dans une même enceinte et qu’ils sont sans action chimique les uns sur les autres, ils 11 e se superposent pas, par ordre dedensité, comme les liquides; mais chacun d’eux se dispose comme s’il était absolument seul dans l’enceinte, et la pression et la densité en chaque point du mélange
DKCMÊME PARTIE. — HYDROSTATIQUE. ?.6l *
sont les sommes de relies que l’on observerait dans l’équilibre de chacun de ces gaz. , considéré isolément.
Soient/»' et p' la pression et la densité de l’un des gaz, pour une valeur quelconque des; //„, p'„ leurs valeurs pour z =o;gla pesanteur à la surface de la terre. On aura// = À'p', À' étant constant, puisque la température est la même eu tous les points, et
cl, par suite,
flz
d’où, en remplaçant p par yp
dp’ gz 3 ih
puis, en intégrant à partir do z = o, et réduisant,
ou
On trottverait de même pour un autre gaz,
et ainsi des autres, fÿ donc 011 désigne par p et p la pression et la densité qu’on observerait à une hauteur quelconque
dans le mélange de ces divers gaz, on aura
fir
11 est bon de remarquer que les différents gaz ne seront pas mêlés exactement dans les mêmes proportions à dilïérentes hauteurs; car les quantités p f",... ne sont pas respectivement dans les mêmes rapports que p' ( , p à moins que les coefficients A 7 , h",... ne soient égaux, ce qui n’a pas lieu en général. Mais ces coefficients étant généralement de très-grands nombres, le changement de proportion des gaz ne se ferait sentir qu’à des hauteurs considérables.
Mesure des hauteurs / ><ir les observations barométriques.
1 (if). Supposons 1 atmosphère eu équilibre, et concevons qu elle soit entièrement solidifiée, à l’exception d’un cylindre vertical partant de la surface de la terre et s’étendant indéfiniment au-dessus; la constitution de l’air dans son intérieur restera la même qu’auparavant, et il suffira de la déterminer pour connaître celle qu’avait d’abord l'atmosphère. Or, si nous pouvons calculer la pression du gaz dansée cylindre en fonction de la hauteur, la connaissance de cette pression en un point quelconque conduira à celle delà hauteur de ce point; et d’ailleurs la pression pourra être déterminée au moyen du baromètre, en tenant compte de quelques circonstances accessoires. Occupons-nous, donc de chercher la formule qui lie la hauteur à la pression dans ce cylindre atmosphérique en équilibre.
Supposons que la pesanteur varie cil raison inverse du,
DKUXlti.MK PARTI K.
HYDROSTATIQUE
carré de la distauce au rentre de la terre, et ne tenon» pas compte du changement insensible qu’opérerait dans celle loi le changement de la force centrifuge dans l’étendue verticale où sont renfermés lés points que nous comparerons. Soient g l’intensité de la pesanteur à la surface de la terre au lieu que l’on considère, r la distance de ce point de la surface au centre de la terre, et g' sa valeur à la distance r z\ on aura
Soient 6 la température d’un gaz , a le coefficient de dilatation des gaz pour une élévation de température (le i degré centigrade, et A un coefficient constant pour un même gaz*, •on aura l’équation suivante-:
jj = (i -t- a6).
Cette même formule est évidemment applicable à un mélange de plusieurs gaz ou vapeurs daus des proportions invariables, le coefficient A- ayant uneeertaine valeur moyenne entre celles qui se rapporteraient à chacun d’eux. C’est celle que nous adopterons pour l’air, parce que l’expérience a prouvé que la proportion des gaz qui le composent est la même à la surface de la terre et aux plus grandes hauteurs où l’on s'est élevé dans la verticale. Quant à la vapeur qui s’y trouve mêlée, et qui est eu assez faible quantité à des hauteurs un peu considérables, il faudra aussi admettre qu’elle entre dans une proportion constante, qui sera une moyenne entre celles qu’on observerait aux deux points extrêmes dont on cherche la différence de hauteur.
Le coefficient a. est à peu près le même pour tous les gaz ainsi que ja>ur les vapeurs et égal à o,oo366\ Mais, comme la quantité de vapeur contenue dans l’air augmente avec la température, et que la vapeur a une densité moindre que l’air, sous une même 'pression , il s’ensuit que, quand la -
at>4 COURS DK MECANIQUE. • .
température s’élève, la densité de l’air doit diminuer un peu plus rapidement que ne l’indiquerait la formule précédente. On aura égard à cette circonstance en augmentant le coefficient a, et la valeur qt>’on lui donne ordinairement à cet elTet est 0,004.
Cela posé, il faudra faire, dans l'équation générale de l’équilibre des fluides,
on aura
aer’dz
dp == — 6 —
ou, en remplaçant p par sa valeur en fonction de p.
dp gr ’ di
La température é varie suivant une loi inconnue avec la hauteur, et l'on s’écartera peu de l’exactitude en lui supposant une valeur constante , égale à la moyenne des températures des deux points extrêmes que l’on considère. D’après .cela, l’équation précédente donne, par l’intégration de ses deux membres,
gr'
C désignant une constante arbitraire que l’on déterminera au moyen des données relatives à la première des deux stations dont on demande la différence de hauteur.
Soient z 0 et les valeurs de z et de p à la première station ; on aura
gr'
X ( i h- otQ ) (/* -f- z 0 ) et, en soustrayant les deux équations l’une de l’autre,
Ut1!.\tilll PARTIE. — HYDROSTATIQUE.
Si l'on désigne par Z les bailleurs verticales ’ ail-dessus de la première station , e’esl-à-dire si l'on pose z — s 0 = Z, et (|u’on fasse r-l- z 0 = R , l’équation précédente devient
JJ *R(H-a 9 ) R -(-z Soient t les températures de l'air aux deux stations, la
valeur de 0 sera mais, pour ne pas compliquer l’é-
quation, nous continuerons à la désigner par 0. Quant au rapport — , il peut s’exprimer au moven des hauteurs barométriques correspondantes aux pressions />, /;<, , pourvu qu'on y ramène le mercure à une même température, et que, de plus, on ail égard à la variation de la pesanteur en passant d'une station à l'autre.
En effet, en désignant par D la densité du mercure à' o degré, par /f„ , h les hauteurs barométriques correspondantes aux deux stations et ramenées à la même température, par exemple à o degré, et par g 0 , g' les valeurs de la pesanteur à ces deux stations, on aura
d’où l’on conclut
Substituant dans l’équation ( 1 ) et remplaçant les logarithmes népériens par les logarithmes ordinaires, divisés par le module M dont la valeur est 0,4-3 \ , on obtient
(a) Z = —ÏÏF"- L'° e /T + 1 °6 ( ' + R ) J ( ' + R ) ’
170. La correction rju'il faut faire aux indications du baromètre est très-facile. Soient T„, T les températures du
mercure aux deux stations, lesquelles sont indiquées par des thermomètres adaptés au baromètre; et H 0 , H les hauteurs indiquées par le baromètre.
Le mercure se dilatant de de son volume à o degré, pour chaque degré du thermomètre centigrade, les valeurs que prend sa densité aux températures o et T 0 sont entre
elles dans le rapport de i -+- r - à l'unité. Or, la pression
de l’air est mesurée par le poids d’une colonne de mercure ayant l'unité pour base, et pour hauteur celle qu’indique le baromètre vertical; de sorte que, pour une même pression, cette hauteur sera en raison inverse de la densité du mercure. Donc entre H 0 et /; 0 , on aura la relation
on aura de même
d’oïl l’on tire
ou, en négligeant lès puissances de » supérieures à la
première,
Ou voit donc qu'il suffira de prendre /i 0 s= H„ et de remplacer h pa r
,l ( ,+ T«rV
Nous laisserons, pour jilus de simplicité, dans, la for-
DEUXIÈMK PAR Tl K. — HVtinOSTATlQUE. 267
mule (55), les quantités /i 0 et U qui sont maintenant déterminées, d’après les observations laites aux deux stations.
J 1 y a encore une autre correction à faire à la formulera), et qui est relative à la laütude du lieu de l’observation.
Nous avons désigné par g la pesanteur considérée à Paris, et sa valeur est
La formule (») ne se rapporterait donc qu’à des observations faites à Paris. Pour qu’elle soit applicable dans tous les lieux, il faut y substituer à g l’expression suivante :
1 — 0,002588 cos 2
- 1 — o, 00 2588 cos 2-},
t|/ désignant la latitude du lieu de l’observation, cl celle de Paris.
En faisant celle substitution dans l'équation (2), le second membre aura un coefficient purement numérique, que l'on peut calculer directement, ou déduire de l'équation même, dans laquelle 011 substituerait à Z la valeur résultant de mesures trigonométriques. Ces deux procédés donnent sensiblement le même résultat; si , de plus, on suppose que la première station ait lieu sensiblement au niveau de la mer, auquel cas on a
-WJ — - O y IV - T y Z — - Z y
la formule (2) deviendra
1 8336“’ ( 1 -+- 3 . 0 ) i — 0,002988 COS 2 i
171 . Pour fabuler la valeur de z, ou commencera par substituer à 0 et ÿ les valeurs données par les observations; et si, pour abréger, on fait , .
i8336(i -+- aô)
