L'Hydrodynamique a pour objet le mouvement des fluides

Pour sc faire une idée exacte du problème considéré de la manière la plus générale, il faut supposer qu'à un instant déterminé, que l’on prendra par exemple pour origine des temps, on connaisse la position de toutes les molécules qui composent le lluidc, et les vitesses dont elles sont animées; que, de plus, on donne les forces extérieures qui agissent sur tous les points du fluide, les pressions et les autres conditions relatives à ses limites dans tous les sens. Cela posé, il s’agit de déterminer le mouvement de chaque molécule en particulier, c’est-à-dire de trouver l’expression de ses trois coordonnées en fonction du temps, et de connaître, de plus, la pression et la densité en un point quelconque j et à un instant quelconque.

Les coordonnées x, j : z d’une molécule déterminée sont des fonctions de la seule variable /. Mais ces fonctions changent d’une molécule à l’autre et dépendent, par conséquent, des coordonnées n, A, c du point où se trouvait la molécule que l’on considère, -à l’origine du mouvement. On doit donc regarder x , y, z comme des fonctions des quatre variables indépendantes a, b, c, t\ et si l’on ‘ peut trouver l’expression générale de ces trois fonctions, on connaîtra exactement le mouvement de telle molécule que I ou voudra, à partir de sa position initiale,

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173. Si le problème était résolu, et que l’oit connût, res trois fonctions de a , h, c , /, on en pourrait déduire «,

c en fonction de x, y, g , t , et, par conséqucitf, tonte fonction des variables indépendantes a, b, c, t peut être considérée comme fonction des quatre variables indépendantes x, y, s, t. Ainsi, par exemple, les composantes

de la vitesse d’un point du fluide, —■> que nous représenterons respectivement par u, e, w, étant dépendantes de a, i,c, t, pourront être regardées comme dépendantes de x, y , z, t ; et c’est d’ailleurs ce que l’on conçoit à priori; car, si l’on considère un point quelconque du fluide, dont les coordonnées x,y, z restent constantes, les quantités u, e, ie relatives à ce point changeront avec le temps, et sont, par conséquent, des fonctions de t. De même, si on laisse z et t constants et qu’on fasse varier x, c'est-à-dire si au même instant on considère les différents points d’une parallèle à l’axe des x ; u, e, ic- varieront, encore; elles sont donc fonction de la variable indépendante x, et ainsi des autres; d’où il résulte que u, e, te sont des fonctions des quatre variables indépendantes x.y, s, t. On eu dirait aulaut de toute fonction de a, b, c, t.

174. Il est facile de voir que le problème que l’on se propose sèrait résolu si l’on pouvait déterminer complètement //, e, xv en fonction de x , y, z , t; car, pour connaître le mouvement d’une molécule en particulier, il sullirait de considérer ,r, y, s comme des fonctions de t seulement, et de poser

rf.r

on aurait ainsi trois équations différentielles entre x, ) , s, /, après que l’on aurait remplacé «, r, te par leurs valeurs; en les intégrant, on connaîtrait x, x , r en fonction