DEUXIÈME PARTIE. — H YDROinfNAMKjrE

de l , et l'on déterminerait les trois < onslantcs que eotte intégration introduirait en exprimant que, pour t — o, ar, y, z prennent les valeurs des coordonnées initiales de la molécule que l’on considère.

17o. Équations du mouvement des fluides. — Soient Xrfm, Y dm, Z dm les composantes de la force appliquée à la molécule dont la masse est dm ; u, o, iv les composantes de sa vitesse, et u v', tv' les dérivées par rapport à /, des quantités respectives u, v, w considérées comme relatives au mouvement d’une molécule déterminée, et , par conséquent, comme des fonctions de la- seule variable t.

. . , , , du do dw

iXous ne pouvons représenter ces denvees par — » — » —

parce qu’on les confondrait avec les dérivées partielles de «, v, vu par rapport à l. Soient enfin p la pression et p la densité, qui peuvent varier avec x, y, z, t. On formera d’abord trois équations du mouvement du fluide, au moyen du principe de d’Alembert, en observant que le fluide serait en équilibre si une molécule quelconque dm était sollicitée par la force ayant pour composantes

(X — u') dm, (Y — v')dm, (Z — tv')dm ,

d'où résultent les trois équations

Pour obtenir les expressions de u ' , v ' , \v' , il faut observer que k, v, w doivent être dillèrentiées en regardant x , 1 , z comme les fonctions de t qui se rapportent au mouvement de la molécule dm, et que, par conséquent, les accroissements de .r, y , s, correspondants à l'accroissement dt du temps, ont pour valeurs v

dx ~ udt , dy — odt , ■ dz — wdt.

2 7?. COURS DE MKC.AWIQUF..

On aura, d'après cela ,

du*

du du du

u — -f- v H- (v — * tix dy a z

dtv

dv dv

Ty +n ’dz

dw div

dt dx tly dz

et les trois équations précédentes deviennent

I dp du du du du

- -y- = X H V fl'—î

p dx dt dx dy dz

t dp dv dv dv dv

p d y dt dx dy dz

I dp . div dw du • dw

p dz rit dx dy dz

Ces trois équations ne suffisent pas pour la détermination des cinq fonctions p, p, u, y, te. Il en faut deux de plus, à moins que p ne soit constant, cl, dans ce cas, il n’eu resterait qu’une à trouver. Nous allons voir comment on peut trouver ces équations d’après la condition que le lluidc reste continu.

176. Concevons que l’espace occupé par le fluide soit partagé en parallélipipèdes infiniment petits tix, dy , dz. Après le temps dt, ils doivent se trouver encore remplis par le fluide, excepté peut-être ceux (fui se trouveraient à la surface libre, et, par conséquent, l’accroissement de la densité dans chacun d’eux sera égal à l'accroissement de la masse qui y était renfermée, divisée par le volume. Pour exprimer cette condition, il faut chercher l’excès de la masse de fluide qui est entrée dans un quelconque d’entre eux, sur la masse qui en est sortie pendant le temps dt.

Soient .r, Y y z ( Jig . i a ) les coordonnées du somme! W