DEUXIEME PARTIE

HYDRODYNAMIQUE.

de ce parallélipipèdc ; x 4- rix, j -f- <h , s -fc- ilz celles du sommet opposé S; «, v, te les composantes de la vitesse du point situé on M après le temps t , et p la densité en ce point au même instant.

La direction de la vitesse variant d’une manière continue, s’il entre du fluide par une face, il en sortira par la face opposée, et si l’on calcule l’excès de la masse de la première quantité sur la seconde pour les trois couples de faces parallèles, leur somme sera l’accroissement de la masse renfermée dans le parallélipipède.

Considérons d'abord lÿ face MPQR et sa parallèle. Si p et u étaient constants dans l’étendue de chacune d’elles, la masse introduite par la première serait

p udydidl ,

la masse sortie par la seconde serait

et L’excès aurait pour expression

■ ■ d (pu)

dxxly dzdt .

Or, on peut admettre qu'il en est ainsi; car, si l’on considère deux points T, \ pris respectivement dans les deux faces et situés sur une parallèle à l’axe des r, la différence des valeurs de pu en ces deux points ne surpasse la différence des valeurs de pu aux points M et A, que d’une quantité infiniment petite par rapport à elle-même, puisqu'il suffirait de remplacer dans celle dernière les coordonnées de M par celles de T pour obtenir les expressions de la première.

De même, l’excès de la quantité de masse entrée par les deux faces d rdz , r/xrh sur celle qui est sortie par les faces 11. ' *

parallèles » est exprimé respectivement par

~dr

dxdyilzdt.

Divisant la somme des trois excès par le volume dxdydz, on connaîtra 1 accroissement de la densité du liquide contenu dans le parallélipipède, ou de la densité au point dont les coordonnées sont x, y, z. Ce sera donc la différentielle partielle de la densité par rapport âu temps, et l’on aura, par conséquent, l’équation

il .pu dx

d.p P m "d.piv dy dz

Examinons maintenant de quelle manière elle doit être interprétée dans les différents cas que peuvent présenter les fluides.

177. S’il s’agit d’un liquide, c’est-à-dire d’un fluide incompressible, et que sa densité soit la même en tous les points, et indépendante du temps, l’équation ( 2 ) se réduit à •

“ dv

dtv

Dans ce cas, il 11 ’y a que quatre fonctions inconnues />, tt, v, iv, puisque p est donné. Les équations ( 1 ) et (3) suffisent donc pour leur détermination.

178. Si l’on considère maintenant un liquide hétérogène, la densité de chaque molécule est invariable; mais p n’en est pas moins une fonction de x,y, z, t. Pour exprimer que cette fonction reste constante pour une même molécule, il faut chercher sa différentielle totale en exprimant que dx , dy, dz ont les valeurs correspondantes au mouvement de celte molécule, et l’égaler à zéro. On ob-

OF.1JXIKMF PARTIT..

HYnRonVNAMiorp.

lient ainsi

dp dp dp — “fl - tf “y - -f - v -rdt \ dx dy

dp — dz ’

cc qui réduit l'équation ( 2 ) à

du di’ du-

Dans cc cas, il y a cinq fonctions à déterminer, savoir, />, p, u, v, w, et un même nombre d équations (. 1 ), (4), (5),

179. S'il s'agit d’un fluide compressible dont la température est constante, on a entre /> et p fa relation

qui, jointe aux équations (t) et ( 2 ), détermine les cinq fonctions inconnues.

180. Conditions relatives à la surface . — Les équations que nous avons obtenues ju3qu’ici s’appliquent à tous les points de l’intérieur du fluide; et s'il est indéfini, il ne reste à y joindre que les conditions relatives à l’état initial. Mais si le fluide est terminé, il existe des équations particulières pour les points qui se trouvent à sa surface. On suppose ordinairement que les points qui étaient d’abord eu contact avec une paroi mobile ou immobile, y restent indéfiniment, et que les points qui appartenaient primitivement à la surface libre ne cessent jamais d’en faire partie. Ces hypothèses restreignent les déplacements; et, malgré cela, il est encore bien peu de cas on les calculs puissent s'effectuer complètement.

Soit F (x, j, 3, f) — o l’équation d’une surface sur laquelle un point du fluide doit constamment Sc trouver. Supposons que, pour une certaine valeur de t, scs coordonnées y satisfassent, et que t croisse de dt: ces coordon-

276 coims DK MÉCANIQUE.

nées croîtront de

luit r vdt , ivtlt ,

et ccs accroissements devront satisfaire à l’équation difl’érentielle de la surface , quand on les substitue à r/.r, dy, dz , ce qui donne la condition

d F d F rfF rfF

—r -h U ■— + v — h IV — = O. . •

dl dx dr dz

rfF

Si la paroi est (ixe, le terme disparait.

Celte équation devra avoir lieu pendant toute la durée du mouvement pour les points qui se trouvaient primitivement en contact avec la paroi dont il s’agit; et il en existera de semblables pour toutes les parties de la surface qui ne sont pas libres.

181 . Les points de la surface libre sont soumis à l’action d’une pression connue, qui est ordinairement là même en tous ces points, mais qui peut varier avec le temps. Si on la désigne par P, l’équation de cette surface sera

d’où l’on conclut la condition suivante, pour les points qui s’y trouvent :

dp dp dp dp d P

dt dx dy dz dt

Ces différentes équations relatives aux limites du fluide concourent, avec l’état initial , à la détermination des fonctions arbitraires introduites par l'intégration des équations différentielles partielles.

1 82. Lorsque h, e, iv sont les dérivées partielles par rapport à x, y, z d’une fonction <f de x,y, z, t , on peut réduire les équations (î) à une seule, et la solution de la

nF.gXUKE FABTIK. — HYnBODYNAMlQUK. . 277

question est ramenée à la détermination de®, puisqu'on en déduira u, e, te par des dillérentiations.

En ne considérant que les variables x, ) , z dans ç, on aura, d’après l’hypothèse,

udx -+- vdy -t- tt'dz ~ dy.

Supposons v de plus , que X, Y, Z soient les dérivées partielles d’une fonction V, de sorte que l’on ail

X dx -h Y dy ■+■ Z dz = d\.

Cela posé, les équations (i) peuvent s’écrire ainsi :

1 dp

dy d 7 y

dy d'y

tl y d 7 y

p dx

dxdt

dx dx 7

dy dx dy

dz dx dz *

1 dp

dy d 7 y

dy dt

dx dx dy

dy dy 7

dz dy dz ’

1 dp

dy d 7 (p

p di

- ~dz

dz dt

dx dx dz

dy dy dz

dz dz ’

Si l’on mul ti plie respect! veinent ceséquations par dr, rly, dz,. et qu'on les ajoute,* on obtient

M(ë) v oi) + (sr

toutes les différentielles étant prises par rapport à x, y, s, en considérant t comme constant.

Les deux membres de cette équation pourront s’intégrer par rapport à jr, y, z toutes les fois que o sera une fonction connue de p, ou aura une valeur constante.

. 1811. Dans ce dernier cas, qui est celui d’un liquide homogène, on obtient

il faudrait ajouter une fonction arbitraire du temps au second membre, mais ou peut la regarder comme renfermée dans la fonction <p, cl il est inutile de l’écrire.

L'équation de continuité se réduit, dans ce cas, à

d 2 <ji

dx r

d -Jl= 6 .

dz'

Cette équation fera connaître y en fonction de x, y, zj et quand les fonctions arbitraires auront été déterminées, on connaîtra u, c, par la différentiation de la fonction <j>.

18 i. Dans le cas d’un fluide aériforme dont la température est constante, 011 a p = A 0 , et le premier membre de l’équation ( 6 ) devient A On obtient donc, en intégrant ,

d’où l’on peut tirer p en fonction de <p.

L’équation (a) peut se mettre sous la forme.

djr

et, en y remettant la valeur de p tirée de la précédente, on aura une équation qui déterminera a cl, par suite, 11 , e, tv. Dans le cas où les mouvements des points du fluide seraient assez rapides pour que la température s’élevât et s’abaissât successivement en chaque point, la force élastique ne serait plus simplement proportionnelle à p, elle dépendrait de l’accroissement de température, qui peut