DEUXIÈME PARTIE. — •’ HYDRODYNAMIQUE. ?-Ç

être regardé comme proportionnel à 1 accroissement delà densité; p dépendrait donc cncore.de p, et réciproquement. Le’premier membre de l’équation (6) pourrait encore être intégré, et l’on agirait comme dans le cas précédent.

185. Si les fonctions u, t>, w sont les dérivées partielles d'une fonction de x , y, z pour une valeur quelconque de t, il faut quelles le soient d’abord pour t = o; ce que l’on reconnaîtra facilement, puisque leurs valeurs initiales sont données en fonction de x, y, z. Or, Lagrange a fait voir que, quand ces conditions sont remplies à une certaine époque, elles le sont à un instant quelconque du mouvement; d’où il résulte que, si l’on reconnaît qu’elles le sont dans l’état initial, elles le seront indéfiniment, 'et les calculs précédents seront applicables.

Nous allons démontrer cette importante proposition.

Pour cela , nous partagerons le temps en intervalles infiniment petits, et nous calculerons de combien augmente l’expression udx + vdy -t- wdz dans un de ces intervalles, en déterminant les accroissements que prennent u, e , 'w dans le même temps, d'après les équations générales du mouvement des lluidcs. Or, il est clair que si udx -y vdy-\- wdz est à chaque instant la dillërentielle d’une fonction de j y, z , il est nécessaire que la quantité dont elle augmente soit toujours elle-même une différentielle exacte ; et réciproquement, si à Une certaine époque celte expression est une différentielle exacte et que tous ses accroissements infiniment petits successifs soient eux-mêmes des différentielles exactes, il en sera de même de leur somme et, par conséquent, de l’expression udx -+■ l’dy -H wdz à une époque quelconque.

Soient donc u, , w, , te, les valeurs de u, v, w à une certaine époque pour laquelle t — t, , et admettons qtic l’on ait *

u, tlx -f- e, rly -t- n», ilz ~ il y ,

2Bo * COURS lit MÉGANIQÜ*.

y, étant une fonction des trois variables indépendantes x, y, z. En considérant/!, v, tv comme des fonctions de x, y , z , /, les valeurs qu’elles auront pour t = /, ^- e pourront être développées par rapport aux puissances, de e , et si l’on suppose cet accroissement infiniment petit, ou . devra se borner aux deux premiers termes, et l’on aura

n = u, - 4 - «' i , v ~ i>, -+- v'i, iv = iv, -t- «•' i ,

v', tv' étant des fonctions de x , y, z , qui seront les dérivées partielles de u, v, w par rapport à t et relatives à i= t,.

On déduit de là

u dx -f- v il y iv t lz ~ u,tLc v, ci y -4- iv, dz-\- y dx -t- V dy -f- iv' ch).

Donc, si u' dx -4- v' dy -f- \v' dz est une différentielle exacte, il en sera de même de u dx -4- vdy -t- wdz à 1 époque pour laquelle t = t,~ I- e. Or, les équations (i), considérées à l'époque où t = deviennent

dy, cl 1 y,

p dx

, - dx

dy dxdy

dx dz '

, do,

dy,

dy, d 1 y,

p dy

dxdy

dy dy 1

dy dz ’

P dz

~ td- ii.

dy,

dy, d’y,

dx dz

dy dydz

~ dz

dz x

Multiplions ces équations respectivement par dx, dy, dz, et ajoulons-les. Le premier membre — sera une différen-

tielle exacte, soit dans le cas des liquides homogènes, parce que p est alors constant ; soit dans le cas des gaz, parée que p est une fonction de p, la température étant supposée inva-

riable. On peut donc remplacer - par d P. P étant une rer-

IltVXlïHI l'Xmir.. — MYlMODYNAMHiCK. >8l

faine fonction de x, y, z\ et, eu supposant d ailleurs que les forces extérieures soient telles, que X dx -t- \ dx -t- Ldz soit la différentielle d’une certaine fonction \ de x, J", z, on obtiendra

d P = dS — ( u' dx -t- J dy -t- td dz)

d'où I on tirera

u' dx 4 - v' djr 4 - tv' dz

Ainsi u'dx 4 - e ' tly -t- iv' dz e$t la diflërcntielle d’une certaine fonction des trois variables indépendantes x, y, z. Donc, si.ur/x -+- \’dy -f- wdz en est une, à une certaine époque, elle le sera encore après que Je mouvement du fluide sc sera opéré en vertu de toutes les actions et toutes les circonstances, pendant un temps infiniment petit. Partant de l’état du fluide à cette nouvelle époque, comme de la précédente , on prouvera de môme que udx 4 - vdy -(- wdz sera encore une différentielle exacte après un nouvel intervalle de temps infiniment petit, et ainsi de suite indéfiniment. ,

Il suit de là que, si celte condition est remplie dans l’état initial, ce que l’on pourra toujours vérifier immédiatement, on peut être assuré qu’elle le sera à toute époque du mouvement. Si elle ne Pétait pas dans l’état initial, î l est clair qu’elle ne pourrait l’ètrc à toute époque.

Il est bon de remarquer que la condition dont il s’agit sera remplie toutes les fois que les vitesses seront milles cri tous les points dans l’état initial \ car alors on a •

udx 4 -vdr 4 - “'ds = o, ce qui est une dillercntielle exacte.

aba COURS UK MÉCANIQUE.

186. Dans lu mouvement très-simple d'un liquide qui tourne uniformément, autour d’un axe lixe, sans que ses points changent de position relative, u dx -+- vdy •+■ wdz n’est pas une différentielle exacte; car, en désignant par w la vitesse angulaire constante, et prenant l’axe de rotation pour axe des z, on aura •

u = — ujr, v — «x, iv = o,

et, par suite,

udx -f- vdy •+• tvdz — u (xdy — y dx ) ,

expression qui n’est pas une différentielle exacte. Le ras dont il s’agit ne peut donc être traité par le procédé particulier que nous avons exposé, et il faut recourir aux équations générales.

On a , dans ce cas.

du dv dw

et les équations (i) deviennent

i dp

p dx

d’où l’on déduit

l dp

= Y -t- <.dy

P dz ~ ’

— = X dx Y dy H- Zdz u'(ji Ix -hydy,),

équation qui ne diffère pas de celle que nous avons trouvée dans l’Hydrostatique, n° 111. ' ' . .

Mouvement d'un lit/ aide dons mie hypothèse particulière.

187. Lorsqu'un^ liquide homogène, renfermé dans un vase, s écoule par un orifice pratiqué dans' la hase hori-

DEUXIÈME. PARTIE. — H YllEOUïNAMIQUE. „ 283

zontalc, et très-petit par rapport aux sections liori/.ontales du vase, l’expérience montre que les molécules situées dans une même tranche horizontale, à un certain instant, y restent constamment, tant qu’elles ne sont pas très-voisines de forifice. On peut négliger les vitesses horizontales, lorsque les sections varient peu dans toute la hauteur du vase, et ont des dimensions très-petites par rapport à cette hauteur ; il n’y a plus alors que deux inconnues, la vitesse verticale et la pression. Ces suppositions , connues sous le nom d’Ayf/o thèse du parallélisme des tranches, sont celles que nous admettons dans la question que nous allons traiter. Prenons l'axe des x dans la direction de la pesanteur, nous aurons

et les équations ( 1 ) se réduisent, les deux dernières à

dp dp ~~

djr ° ’ dz 2 = o ,

ce qui- indique que la pression est la même pour tous les points d’une même tranche horizontale, et la première à

du du \

dt dx )

L’équation de continuité (3) ne saurait être employée dans le cas actuel, parce qu’elle renferme les dérivées de «, e, te; et quoique v et tv soient très-petits par rapport à h, on ne peut dire que leurs dérivées puissent être négligées par rapport à celle de u. Mais on exprimera bien simplement la continuité, en égalant la quantité de liquide qui passe par une tranche quelconque à celle qui sort par l’orifice pendant un même temps infiniment petit. En effet, désignons par w faire de la section faite dans le vase, à une distance x de l’origine; par 11 l'aire ch- foritiee , et par U la

284 COURS Ufe MÉCANIQUE.

vitesse avec laquelle le liquide y passe; les quantités de liquide qui passent par les sections o> et O pendant le même intervalle dt sont respectivement 'ùudt et llUdt; d’où résulte la condition

o) o = il U ,

les valeurs de u et U se rapportant à la même valeur de t , U est une fonction de t seulement , « est une fonction de x donnée par la forme du vase, et « est une fonction de x et de t. Si l’on y fait varier t seulement, ou a les valeurs successives de la vitesse de différentes couches, au moment où. elles viennent de passer par une même section. Si x seul varie dans u , on a les vitesses de différentes couches au même instant, et si l'on y fait varier à la fois x et t salis établir de dépendance entre eux, on a la vitesse de la tranche qui [iasse à cette autre époque par une autre section. Enfin, si l'on veut connaître la vitesse qu’aura, après le temps dt , la tranche qui, pour une valeur donnée de t et de.r, a une vitesse u, il faudra faire varier t de dt , et x de t Ix , en supposant dx = u dt.

Au moyen de l’équation (A) on peut éliminer u de l’équation (a) et y introduire U, qui offre de l’avantage, en ce qu’elle n’est fonction que d’une seule variable t.

On obtient ainsi

<ll> i il d U il’ U»

dx f 1 ,lt ^ w » r/x j

Multipliant les deux membres de cette équation par d.v , et les intégrant par rapport à r, à partir de la surface supérieure, on obtient

• dv r dx pu'u*

UEUXlfcvF. PARTIE. — HTnRODTKAMIQOF.. ?85

1 intégrale J' - - peut être supposée effectuée dans chaque

cas particulier, puisque « est une fonction donnée de x; C est une quantité arbitraire indépendante de.r, et qui peut dépendre de t.

Cela posé, il y a à considérer deux cas très-dillérents : celui où le niveau du liquide serait maintenu à la même hauteur, et celui où il s’abaisserait par l’écoulement du liquide qui ne serait pas renouvelé; nous allons les examiner successivement.

188. Soient P la pression constante exercée sur la surface su|>érieure «lu liquide, P' la pression exercée sur le lhjuidc qui sort du vase; on aura sensiblement P' =P lorsque tout l’appareil sera compris dans un même milieu gazeux. Soient h la distance du niveau à l’origine des x, et l sa distance à l’orifice.

Déterminons la constante de l’équation précédente de manière que l’on ait p = P |>our x — h, nous trouverons , en prenant l’intégrale à partir.de h ,

O désignant la valeur de « au niveau du liquide.

11 en résultera

* „ , rfU ('* dx pU’lP / i i \

si nous faisons il en résultera si nous posons

P * + 1 dx / - = P-P' = *?*\

Jh ■ «