DEUXIEME PARTIE

BVORODYWAMIO! T E.

Si Ton néglige le carré de la limite de la vitesseà l’ori- . ficc sera \'ig (/-H- d).

Et euGn, $i d = o, c’est-à-dire si la pression extérieure est la même à l’orifice et au niveau du liquide, la vitesse à l’orifice devient ^/ag/. Elle est donc la même (lue celle qu acquerrait un corps pesant , en tombant dans le vide d'une hauteur égale à celle du liquide dans le vase.

La vitesse U étant devenue constante, on a ~ — O, et

dt ’

l’équation (c) se réduit à

„ , ivu 1 /' i\

Or, dans l’étal d’équilibre , la pression serait égale à p + Pg(* — 1‘)-

Elle est donc moindre dans l’état de mouvement pour les sections telles, que l’on ait co <0, c'est-à-dire pour celles qui ont des aires moindres que celle de la surface libre du liquide; elle est, au contraire, plus grande que dans l’état d’équilibre pour celles dont les aires sont plus grandes que O .

Si l’on veut connaître le volume de liquide qui est sorti du vase au bout du temps t, il suffira d’intégrer Çllldt entre o et t. Si l’on désigne ce volume par V, on trouve facilement

Au bout d un certain temps, on pourra négliger la seconde .exponentielle, -cl Ton aura sensiblement, eu remettant

20g * COtm s DF. MW\NK>l)F..

pour A sa valeur i/âg(/+T), -

•s. ni lo« 5.

ll : O s

Le premier terme est le volume qui serait sorti si la vitesse avait été, dès l'origine, égale à sa limite

189. Passons maintenant au cas où le liquide n étant pas renouvelé, le niveau s'abaisse, et h est une fonction

inconnue de t. ...

Les équations (<t), {/>), (e), (f/) ont toujours lien-, mais ni et O sont maintenant des fonctions connues de h. cl l dépend de h par l'équation

a désignant la distance. constante de 1 orifice a 1 origine des x. Il faudra à ces équations en ajouter une qui exprime que la quantité de liquide écoulé pendant un intervalle quelconque ilt est égale au volume compris entre les deux •

niveaux correspondants au commencement et à la lin de cet

intervalle. Cette équation est

il/) aU

L’équation (fl) devient, en remplaçant / par a — h,

<IV a 1 TT’ / 1 t \ (/) K (« + s - A) = "û (ü. “ O’/ *

11 reste donc à intégrer le système des deux équations simultanées (e) et (/ ).

DEUX 1 KM P. PARTIE . — Il YDRÜI>T.\ \MIOIF.

Si l’on élimine entre elles dl, on obtient

. . m n’ rfU ft’ll’ / i i\

ou, en posant L’= 2 gz,

équation linéaire du premier ordre par rapport à z, et que l’on pourra toujours intégrer dans chaque ras, puisque O et m seront des fonctio^ connues de h.

Lorsque z sera connu en fonction de A, on connaîtra U, et par suite l d’après l’équation (e); et réciproquement h et U seront connus en fonction de t. La valeur de u sera donnée par l’équation (A), et celle de p par l'équation (c). La quantité de liquide écoulé se déterminera en calculant le volume du vase , compris entre le niveau initial et le niveau variable, et la durée de l’écoulement total s’obtiendra en faisant A = a dans la valeur de t.

190. Si l’on suppose fi extrêmement petit par rapport aux sections horizontales du vase, l'équation (d) se simplifie beaucoup. En effet, on peut négliger - et mSl, tant dans l’hypothèse d’un niveau variable que d’un niveau constant, à moins toutefois que ne soit très-grand, ce

(jui a lieu au commencement du mouvement. On obtient ainsi

ce qui donne pour TJ la vitesse limite que nous avions trouvée pour t infini, dans le premier cas.

Dans la meme hypothèse d’un orifice très-petit, les résultats sont sensiblement les mêmes, quelle que soit la direction de son plan.

ago

Mais, dans tous les cas, la vitesse donnée par l’expérience, et cjuc l'on calcule d'après l’aire de l’orifice et la quantité d'eau écoulée, est moindre que celle que donne celle théorie dans le rapport de 0,62 à l'uni lé. Ce rapport étant sensiblement constant, les vitesses réelles sont toujours entre elles comme les racines carrées des hauteurs de pression.

Du mouvement permanent d'un liquide.

191. Lorsque l’on entretient ^niveau d’un liquide à une hauteur constante, on obtient, au bout d'un certain temps, un état permanent dans lequel toutes les circonstances restent les mêmes au même point, et ne varient que d’un pointa un autre. Ainsi, eu un point quelconque, la vitesse du liquide sera constante en grandeur et en direction , et par conséquent deux molécules qui à des époques différentes auront occupé une même position, parcourront la même trajectoire et d’une manière identique.

En prenant l'axe des x dans le sens de la pesanteur, les équations fournies par le principe de d’Alembert seront

dp dp

£ = P(S-i‘)’ dj =

u 1 , v\ iv' étant les dérivées , par rapport au temps , des composantes de la vitesse d’une molécule eu un point quelconque. Désignons par dx , dy, dz les accroissements qu’ont pris, après le temps dt , les coordonnées de la molécule qui était située en ce point; multiplions respectivement les équations précédentes par dx, dy, dz , et ajoutons-les, nous obtiendrons

dp — g p dx — p ( u' dx H- v' dy «■' dz ) ,

ou, en désignant par V la vitesse de cette molécule en un