CALCUL DES PETITS MOUVEMENTS DES FLUIDES ÉLASTIQUES
197. Lorsque tous les points d'un fluide n’ont que des mouvements extrêmement petits, les équations générales se simplifient beaucoup, et conduisent à quelques lois simples que nous allons exposer.
Nous supposerons que l’expression udx -I- vdy -+- wdz soit à chaque instant la différentielle d’une fonction <p de x, y , z, f, prise seulement par rapport aux variables x, y , z. Nous savons qu’il suffit pour cela que, dans l’état initial, les composantes connues u, v, w de la vitesse d’un point quelconque soient les dérivées partielles, par rapport à x, y, z, d’une même fonction de ces trois variables considérées comme indépendantes; ce qui aura lieu en particulier si les vitesses initiales sont milles. Nous devrons donc, dans les questions que nous allons étudier, faire usage de l’équation (6) du n° 182; et nous allons d’abord y opérer les simplifications qui résultent de l’hypothèse que les mouvements restent très-petits.
Soient D la densité du gaz dans son état naturel d’équilibre , A celle du mercure , p 0 la force élastique de ce gaz , h la hauteur de mercure qui la mesure, et g la gravité; on aura
p. = gh i.
Désignons par p la densité variable du gaz, par y sa condensation positive ou négative, et par p sa force élastique , on aura
et, en supposant la température égale à celle de l’état initial,
Mais la condensation développe une certaine quantité de
3oO COURS DE MÉCANIQUE.
chaleur qui lui est proportionnelle, si elle est très-petite, comme nous le supposons. Cette chaleur n’a pas le temps de se répandre si les alternatives de dilatation et de condensation se succèdent rapidement, comme cela aura lieu dans les questions que nous examinerons j on doit donc la considérer comme ayant pour eil’el d'élever la température des points où elle est dégagée d’une quantité de même signe que la condensation , et proportionnelle à sa grandeur. Dans le cas où la chaleur aurait le temps de se dissiper dans le milieu, on n’en tiendrait pas compte dans le calcul. Si l’on représente par 0 le nombre positif ou négatif de degrés centésimaux dont s’élève la température primitive v du gaz, pour une condensation y; par c et c' les chaleurs spécifiques du gaz à pression constante et à volume constant, et par a le coefficient de dilatation de ce gaz, on démontre en physique que ces quantités ont entre elles la relation suivante : j
on aura , de plus , la proportion
P \p. :: D (l-t-7) [l -+- <«(•’ ■+• 0 )] : D(l -+- av),
d’dù l'on tire, en remplaçant p 0 par gh et négligeant les puissances de a supérieures à la première , et le produit des quantités très-petites y, 9,
P = gh[ i + ï + «6) A,
ou, en remplaçant « 0 par sa valeur eu fonction de y,
P = gh(i + yp\&,
d’où
ilp g/ic A fi y
p De' 1 -f- y
. DEUXIEME PARTIR. — HYDRODYNAMIQUE
L’équation ^6) donne ainsi
3oi
"hc A
De
Or, en supposant que les condensations et vitesses initiales soient des quantités extrêmement petites du même ordre, et qu’il en soit de Xnème à une époque quelconque,
on pourra négliger les carrés des composantes ~
par rapport à 2 (i + y), qui peut être remplacé par y, et la dernière équation se réduit à
ghe A do
De' 7 ~~~di'‘
ehcb
ou , en posant , ■ = i
L’équation de continuité
i d <f a 1 dt
dp
dt
d.pv
d.ptv
dz
devient d’abord
dt
dy
dz
ou, en négligeant les termes très-petits par rapport à ceux qui subsistent dans l’équation,
d t d, y dl <? <**?
dt dx' dy 1 dz 2
Les équations (i) et (a) déterminent y et <p. Si l’on élimine entre elles y, on obtient
( d 'f , d 'i . d 'f\ dt 1 \ dx r dy 1 rie' '
On est donc ramené à l’intégration d’une équation différentielle partielle du second ordre, linéaire et à coefficients constants. Les fonctions arbitraires se détermineront par
les valeurs initiales de ? ct > et il n'y aura pas d'autres
conditions si le fluide est indéflni dans tous les sens. Dans le cas contraire, il y a , comme* nous le savons, des équations particulières aux limites, qui augmentent beaucoup les difficultés du calcul.
La valeur initiale de est connue par celle de y qui
est une donnée nécessaire. Quant à celle de <p, elle résulte des valeurs initiales des composantes de la vitesse,
qui sont nécessairement données. Ces trois rtx ajr az 1
fonctions d ex, y, z déterminent, à une constante près, la fonction <p ; et comme cette constante ne peut avoir aucune influence sur les quantités cherchées, qui s’obtiennent toutes par la différentiation de la fonction <f, on n’en doit tenir aucun compte, et l’on peut considérer la fonction générale <p comme connue lorsqu’on y fait t = o.
Le problème de mécanique est donc ramené à une question de calcul intégral dont les données sont complètes. Nous nous bornerons à la traiter dans quelques cas particuliers.
198. Superposition des effets. — Si dans ce fluide, supposé indéfini dans tous les sens, on conçoit divers états initiaux et les mouvements partiels qui leur correspondraient, et satisferaient à l’équation (3), il est facile de reconnaître que, si l’on considère un nouvel état initial résultant de la composition des premiers, le mouvement correspondant pourra être obtenu à une époque quelconque par la composition des mouvements partiels relatifs à la même époque; cette composition étant entendue dans
DEUXIÈME PkRTII. "" — HYDROnYHAMIQIIK. 3o3
le sens ordinaire pour les vitesses, et consistant dans une addition algébrique pour les condensations. En elTct, soient <?! » , <?i ? etc. , les valeurs de correspondantes aux mou-
vements partiels, et qui satisfont séparément à l’équation (3); posons
Ÿ = ?!-+- Jj-t- fj -H. . . .
La fonction <p satisfera elle-même à l’équation (3), et représentera, par conséquent, un mouvement particulier du tluide. Sa' dérivée par rapport à t sera la somme de celles des fonctions y , , ç, , etc. En les considérant toutes pour la valeur l = o , on en conclura d’abord que la condensation initiale du fluide dans le mouvement représenté par <f est la somme des condensations initiales relatives aux divers mouvements partiels; et, de plus, les dérivées de (f par «rapport à x, y, z seront les sommes de celles des fonctions <p, , <pt , <p s , etc. ; et si l’on y fait t = o , on en conclut que dans le mouvement représenté par çp, les vitesses initiales de chaque molécule s’obtiennent en composant celles qui se rapportent’ à la même molécule dans les états initiaux partiels. Donc l’état initial du fluide dans le mouvement représenté par <p est identique pour les condensations et pour les vitesses à celui que nous nous proposions de déterminer ces deux mouvements sont donc identiques à une époque quelconque. Si maintenant, au lieu de faire t — o ‘dans les
fonctions '^-~i on attribue à cette variable
dt dx djr dz
une valeur quelconque, ces fondrons seront toujours les sommes de celles qui correspondent à q>, , ç, , y, , etc. Donc enfin les condensations et les composantes de la vitesse dans le mouvement cherché seront à chaque instant les sommes algébriques de celles que l’on observerait à la môme époque, et respectivement aux mêmes points, dans les mouvements déterminés par les états initiaux partiels.
COURS I)E MhRAKIQUK.
Mouvement d’un gaz dans un tuyau cylindrique indéfini.
199. Supposons un cylindre creux indéfini , dont la section orthogonale soit une courbe quelconque, et qui soit rempli d’un gaz homogène , par exemple d’air atmosphérique. Dans une étendue quelconque de ce tuyau , on a déplacé les molécules de telle sorte que celles qui étaient dans une même section orthogonale y soient restées, et se soient mues parallèlement aux arêtes du cylindre; piiis on a imprimé à toutes ces molécules des vitesses parallèles à ces arêtes et égales pour celles qui sont dans une même section : et ensuite on a abandonné le fluide à lui-même, sans introduire aucune force extérieure. 11 s’agit de déterminer toutes les circonstances du mouvement qui en résultera.
JNous remarquerons d’abord que le mouvement de toutes les molécules situées dans une même section sera le même,* et, de plus, parallèle aux arêtes du cylindre. Si donc on prend cette direction pour celle de l’axe des x , la cofiden-’
sation y et la vitesse u ou ~ ne dépendront que.de x et t .
Les équations du problème seront donc
1 rf<p
dt' rfx» ’
et si l’on suppose que les vitesses initiales soient exprimées par la fonction et les condensations initiales par
y (x), ou devra avoir
(a) ^ = $(*), ^J= — n> z (x), pour t z= o.
L’intégrale de l'équation (i) est (3) ? = F,(x -t- at) +f,(x — at),
