DEUXIÈME PARTIE. — IIYDKOOTNAMKIUE. , 3 u

J’’, et désignant des fonctions arbitraires, dont nous représenterons les fonctions dérivées par F et f. Les équations (a) donneront, pour déterminer ces fonctions, les deux conditions suivantes :

d’où l’on tire

/W-FW=«7(^)i

Si maintenant on diîférenlie l’équation (3) par rapport à x et à r, on trouvera, d’après les valeurs qui viennent d èlre déterminées pour les fonctions f et F,

n at)-«x(j4-flt j ■}(* — a t) ■+ « x (j — g/)

0 7= t ( • C — gf ) 4 ~ ~ al ) V (f + )— «f;

(Mais, pour plus de simplicité, nous conserverons les fonctions F et j\ et nous aurons les formules suivantes :

(4) , • « — F.(x-t-o/) 4-/(x — at),

(5) ’ . ■ tff = — F (x -4- at) — at).

Les fonctions et y étant données pour toutes les valeurs de la variable entre — co^et oo j on connaîtra u et y |K)ur des valeurs quelconques de x et /.

Si l’on veut connaître le mouvement, des molécules comprises dans une section particulière, qui dans l’état initial correspondait à l’ahscisse a, il faudra, dans l’équation (4), (Îjc

remplacent par —, et intégrer celle que l’on obtient par

là entre x et t. On connaîtra ainsi, en fonction du temps, l’abscisse des molécules en question. La consente que celte

3oti • COliRS OK f-

intégration introduira sera déterminée par la condition que pour t — o on ait x = a. II sera inutile de s'occuper de la vitesse initiale, puisque la valeur générale de u satisfait à la condition des vitesses initiales pour tous les points du fluide.

200. Examinons le cas particulier où 1 ébranlement initial est limité , et s’étend par exemple depuis x = o jusqu’à X = /, ou depuis l’origine A jusqu’en B (fig. i3).

Alors les fonctions données par ^ et ^sont nulles pourtoulc valeur de la variable, plus petite que o ou plus grande que/; et il en est de même, par conséquent, des fonctions F,/. INous partagerons celle discussion en trois parties , correspondantes aux trois régions dans lesquelles l’ébranlement initial divise l’axe des x.

i°. Considérons d’abord un point quelconque M en dehors de AB et du côté des x positifs, c’est-à-dire pour lequel on a x^> /•, et supposons o, ce qui veut dire que nous considérons les époques postérieures à celle qui est prise pour origine des temps.

lJans ce cas , on a

x -t - nt

et , par conséquent ,

. F(x -trôf) = o, /(*H-«l)= o. .

Les formules (4) et (5) se réduisent donc aux termes où entre x — at , et l’on a

i u ~ f [ x — til),

\ a-/ =J at),

/d’où résulte, entre la vitesse et la condensation , la relation remarquable , •

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.Mais, pour que ces valeur.-, .I.- u et y ne soient pas imll. •,. il faut <|lic l’on ait

t, ou

4 — <; / et x — nt n.

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