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.- x Aitisi, le point M reste en repos jusqu à 1 époque pour la- .' *V s ' v ;■ ' ‘ quelle on a
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V' " - • * ; Vcmént se propage donc dans le sens BX avec une vitesse . '
é”alo à O, et subsiste en chaque point pendant un temps
égal à ' : de sorte que la partie ébranlée a une longueur /et
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, <fue c’est la figure géométrique qui se meut avec la vitesse a t ^V^V' et non les molécules de lluides qui y sont composes.
2 ". Considérons maintenant un point M' pour lequel on .
ait x < o, et à plus forte raison .r — at < o. <>n aura alors
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‘ . F(x — nt) = o, /(x — at.) =0, ' * ■ *— J ' "
3o8 CODAS l>E VÉCVNrQUE.
x -+- at ; on a ainsi
i ii = F(x + , it ),
( a / = — F (x H- at );
On a eucorc, au signe près, le même rapport constant entre la vitesse et la condensation; il est exprimé par l’équation .i ■ • • .
h — — ay • '
Ou reconnaît facilement que les valeurs de u et y ne seront différentes de zéro que si l’on a
d’où
ou encore
.t -j- ut o , je -t- at / ,
il résulte de là, comme on devait s'y attendre, que le mouvement se propage dans la partie AX 1 comme dans la partie BX , avec une vitesse a ; que tout point se meut pendant .*
le temps -, et que la partie ébranlée où l’onde a une longueur /, est toujours constituée de la même manière et se déplace uniformément avec la vitesse a dans le sens des x négatifs.
3". Considérons, en dernier lieu, un point M" entre A et B, on aura
«le sorte que x — at et x -h at resteront pendant un certain temps compris l'un et l’autre entre 0 et l, et tous les termes des formules (4) et ( 5) subsisteront. Mais at deviendra > / après l'instant pour lequel on aura
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cl , depuis ce niouicnl, les fonctions de X + at seront nulles. De même , x — at deviendra négatif après l’époque pour la<|uelle on aura
at = AM".
Ainsi , on considérera les termes en x ■+■ at qui se rapportent à l’onde qui marche vers les x négatifs, jusqu’à ce que le point B soit arrivé en M" en se mouvant avec la vitesse a ; on considérera les termes en x — at qui se rapportent à l’onde qui marche vers les x positifs, jusqu’à ce que le point A, se mouvant avec la vitesse a , soit arrivé en M".
Et par conséquent, si l’on considère les deux parties qui composent les formules (4) et (5) comme exprimant icspcctivement les vitesses et les condensations dans deux ondes distinctes, et que l’on suppose que chacune de ces ondes se déplace avec une vitesse a , l’une dans un sens , et l’autre dans I autre, en conservant toujours la même con- * liluliou, ou aura, à un instant quelconque, l’étal du lluide, en plaçant ces deux ondes dans la position où leur mouvement les aura amenées à cette époque, et superposant les condensations et les vitesses dans les parties où elles se pénétreront si elles ne sont pas encore entièrement sé- • parées.
On aurait les états antérieurs à l'époque prise pour origine des temps, en faisant marcher respectivement en sens --.contraire ces mêmes ondes, avec la vitesse a, pendant un temps égal à l’intervalle qui sépare l'époque en question de l’origine des temps.
201. Nous venons de voir qu un ébranlement initial d une longueur Unie donnait naissance à deux ondes de même longueur, animées de vitesses égales et de sens contraire. Mais il est possible que l une de ces ondes' n’existe ’ pas. l.a première par exemple , qui correspond aux formule:- ( (j i, disparaili ail si Ton \ait pour toutes les valeurs
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COURS I>E .MfcCANHJUE.
de z comprises 0011*0 o et /,
Il n’existerait alors que l'onde qui correspond aux formules {7). Et de même celle-ci n’existerait pas, et la première subsisterait seule, si l’on avait
Ainsi , pour qu il n'y ait qu’une seule onde, il est nécessaire et suffisant que le rapport de ^ (s) à ( z) soit-t-a ou — a ; ou, en d’autres termes, que dans l’état initial le rapport de la vitesse à la condensation en un point quelconque de la partie ébranlée soit +nou — a.
Mouvement (C un i/ttz dans un tuyau limité dans un sens.
202 . Nous venons de voir quelle est la loi du mouv ornent dans un tuyau indéfini dans les deux-sens. Examinons maintenant la modification qu’elle subit lorsque le tuyau est limité dans un sens et terminé par un plan fixe, ou en communication avec un immense réservoir de gaz soumis à une pression constante, par exemple avec l’amosplière. Nous discuterons séparément ccs deux cas.
l°. Cas d'un tuyau formé. — Supposons d’abord le tuyau terminé par un plan fixe, et comptons les x positifs à partir de ce plan , et dans le sens du tuvau.
Nous avons admis généralement que les molécules primitivement en contact avec une paroi y restent constamment appliquées. Ainsi, dans le cas actuel, la section correspondante à x= o aura une vitesse nulle à chaque instant; c'est-à-dire que l’on aura
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o pour x = o,
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quel que soit t. Celte nouvelle condition devra être jointe
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nr.lixiùt TXIITIF.. — HYonOm NAMIQUB. 3 ) I
à relies qui résultent de l étal initial du gâz qui est donné dans toute l’étendue du tuyau, c’est-à-dire pour toutes les valeurs positives de jc. Nous représenterons toujours parij»(x) et %(x) la vitesse cl la condensation initiales; ces fonctions ne seront donuées que pour les valeurs positives de la variable, et sont entièrement arbitraires pour ses valeurs négatives. C’est celte indétermination <jui permettra de satisfaire à la condition relative à l'extrémité; car nous avons vu que, lorsque ces fonctions sont données pour toutes les valeurs de la variable, la valeur de 9 est complètement déterminée , et ou ne peut plus 1 assujettir à aucune condition particulière.
La valeur générale de tp qui satisfait à 1 équation dillercn-
tielle sera toujours ^
f = F, x -+- itt) -+- /, (x — al).
La condition (i) conduit à l’équation suivante :
F ( + f\~ nt ■■ = ° >
rl comme elle doit avoir lieu quel que soit f , en grandeur 'dt en signe, si I on remplace ni par s, on devra avoir, quel que soit i ,
Au moven de cette équation , les fonctions F et /, qui soûl
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données pour les valeurs positives de la variable, seront connues pour scs valeurs négatives. En elfel , eu supposant z positif, on en tirera
ce qui lait connaître /pour toutes les valeurs négatives de la variable.
Et si. Ton change z en — z dans l’équation (3) et que
I • < Il suppose enrôle r posilil , 011 IfOUvA
