PL

•ïS

203. Examinons en particulier le cas où 1 ébranlement initial ne s’étend qu’entre les abscisses d c.lil-h/. Alors les fonctions F et / sont nulles pour toutes les valeurs positives de la variable, qui ne sont pas comprises entre d et d-\-l, et, d'après l'équation (3), pour toutes les valeurs négatives non comprises entre — d et —d — l. C’est ce que représente la fi g. i4, dans laquelle

AB = AB'=r/, et BC = B'C' = /. r •

La partie BC de l’ébranlement va donner naissance à -deux ondes animées, l’une, de la vitesse -t -a, l’autre, de la vitesse — a. La partie B'C’ donnera naiàsancc à deux ondes qui seront constamment symétriques des deux autres par rapport au point A. Lorsqu'elles seront arrivées l’une ’ et l’autre en A , elles continueront leur marche et se pénétreront en se superposant, d’après le principe démontré généralement.

D’où l'on voit que l’effet dans le tuyau fermé A X est le même que si l’onde qui marche de BC vers le plan fixe A , en arrivant à ce plan, se repliait sur elle-même, de telle sorte que ses diverses parties , conservant la même condensation et la même vitesse en sens contraire, se superposas- • ’

sent toujours avec les parties correspondantes à la même abscisse et qui marchent encore vers le plan fixe. Et lorsque la seconde extrémité de l'onde partie de BC est arrivée en A, l’onde entière se trouve tournée en sens inverse, et marche indéfiniment du coté des x positifs. C’est en cela que consiste la réflexion d’une onde plane contre un plan qui lui est parallèle. Cet cll'et se produit, quelle que soit la longueur de la partie ébranlée BC; elle peut s’étendre indéfiniment depuis le plan A jusqu'à x = cc ; elle peut avoir une longueur infiniment petite. Et si l oti trouve avantageux, dans certains cas t de partager l'ébranlement en portions infiniment petites, il suffira toujours do super-

K#*- * yi.’M*; g >* - * .7»* « > r ^ ' ; *tt . r ■

îttnxjksix . r.\KTiK. — iiYnnoivt’NvMiorr ■3

r -i . p*»scr les effets correspoudan is à chacun Je ees éléments après un temps quelconque , pour avoir l’effet qui rorres

kV F **•

(tondrait à l’ébranlement proposé, après ce même temps a". ( as du tuyau ouvert. — Supposons maintenant que

le tuyau soit ouvert en A et en communication avec un réservoir de gaz, indéfini en tous sens, comme par exemple I atmosphère; nous avons admis généralement que la pression qui a Heu h la surfare.de communication est toujours la même que celle qui a lieu dans le réservoir, et que nous supposerons constante. C’est celte pression qu’on observe- - . -

tait dans le gaz du tuyau en équilibre; et y exprime l’aug-

• mentalion de la deusilé, à partir de celle qui correspond à

■ • cet étât d équilibre.

Cela posé , on aura , pour tous les points du tuyau ,

' . ' , j il ■ B ,1 -,

-.'('J'- ■ — - ss «>— X

,/r TP

rf» y *«•* -;m|

. ,. - o polir x ~ o , quel que soit t.

Aous représenterons enrôle par </>{*), z (., ) la vittSsc el

la eondcnsalion initiales. Ce sont des fondions données entre x — o, x == ao-, cl complètement arbitraires entre * / V> ; '

• r — o, j- — x . C est encore cette indétermination qui permettra de satisfaire à la condition relative à l’extrémité.

!• intégrale générale de l'équation (i) est encore / 'V j

V~ f’/'’ i ut) -*-/.(* «/),

. JP* condition (ij conduit a l'équation suivante, dans la- ’ quelle z est tout à fait indéterminé en grandeur et en signe, " r ‘ • •••

et 1 • , J soûl encore les dérivées des fonctions , /', ,

r.OUIlS DE MECANIQUE.

le lieu géométrique composé de la partie de l'une quelconque des deux qui est située du côté des x positifs, et de la partie de l’autre située du côté des x négatifs, sera symétrique par rapport à l’axe des y. Ainsi, au moyen de l’équation (3), les fonctions F,/", qui n'étaient données, d’après ip ct^, que pour les valeurs positives de la variable, sont déterminées pour ses valeurs négatives. Et l’on peut encore remarquer, dans ce cas comme dans le précédent, • que la question est la même que si l’on supposait le tuyau indéfiniment prolongé vers les .r négatifs , pourvu qu’on donnât au gaz, dans ce prolongement, un étal initial représenté par les valeurs de F et f que nous venons de déterminer pour les valeurs négatives de la variable.

Les valeurs de u et y seront représentées par les formules suivantes ... »'

C4J « = F ( x -+- Ht ; -H / ( x — lit ; ,

(5) «17 = — F {x ■+■ at) -t-/(x — at). -,~ x -

Si l'on change x eu — x dans les équations (4) et (5), ou trouve, en ayant égard à l'équation (3) et représentant par «, , y , les nouvelles valeurs de u et y.

u, = F (— x -f- »t) 4- /( — r — at)zk/{x — at) 4 - Y (x H <it)~ 11 , * <17, = — F {— x -f- at) -+- J ( — x — at) — — J (x — at)

-+- F (x -t - at) — — «7.

Ainsi, en deux points quelconques situés de part cl d autre et à égale distance de l’origine, les vitesses sont égales et de inèrue sens, et le» condensations égales et de signes conl rai res.

Celle disjiosiiion , qui a lieu à chaque instant, a lieu aussi dans l'étal initial. Ainsi, dans le cas d'un tuyau ouvert, le moyen de ramener la question à relui d'un tuyau indéfini consiste a supposer le tuyau prolongé et rempli'

ieèlbÿ C

■'fl, un gaz identique au premier, çt disposé au commence- %.W . inenl du mouvement, de manière que deux points égale- - • ( /« . ■'*1

ment distants de l'origine et de côtés dill’érenis aient des ri- t i

lesses égales et de même sens, et des condensations égales et ‘ '

désignés contraires.

204. Examinons le cas particulier où rébranlement ini- , :V liai donné a une étendue Unie HC (Jig- i5) comprise . . '

entre — \d et — <1 — /. Elles sont représentées par les

, ,, ' • courbes tracées sur la ligure. Or, d’après le principe de su- ' - perposilion , les ondes correspondantes à chacun des ébrau-

* flements BC, C' U' se propageront avec une vitesse con- • ; stantc a. Les deux qui vont en s’éloignant de A ne donnent lieu à aucune remarque particulière Quant aux deux au- • très , elles arriveront ensemble au point A et continuel oui

superposant dans les points eommuns. •

• ;■ ' leur marche en se

“fjj., les x positifs jusqu’à l'infini. De sorte que daus le tuyau y réel, ouvert en A, la réflexion qui se fait en ce point a ^ V; précisément pour elfet de produire cette dernière onde.

Le rapport entre l’onde réfléchie et l’onde incidente réf.j- y , suite de la remarque faite précédemment, relativement aux

#V * » * ■ - .je

points qui ont des abscisses égales cl de signes contraires, x- jri. En efl’ct, fonde incidente continuant sans altération son

mouvement du côté des r négatifs, il suit de la remarque

y ;‘^que nous rappelons, que, pour avoir l’onde réfléchie, il I r .. V ' faut concevoir que chacun des éléments de fonde incidente, arrivant en A, se replie sur lui-même avec la \i-

Si O COURS 1>P MP c:\VigtiK.

usse a, mais de ici lu surU 1 que la vitesse absolue des ino-létales y reste la même eu grandeur et en signé, taudis que la condensation a changé de signe sans changer de graudeur. *

On peut remarquer que si celte onde réfléchie allait de nouveau rencontrer une ouverture communiquant avec nu réservoir indéfini, elle subirait une nouvelle réflexion suivant les .mêmes lois et redeviendrait identique avec la première onde incidente, ht cet effet se reproduirait indéfiniment.

Mouvement ri un </az dans un tuyau limite dans tes tlei(.\

sens. ' Y*-

ÜOo. Lorsqu'un tuyau est limité dans les deux sens,- il -*■ . ■

se passe à ses deux extrémités, ouvertes ou fermées , d<« ef- ; v lets semblables à ceux que nous venons de considérer. Chaque élément de l’ébranlement donne naissance à^deux ondes qui marchent en sens inverse et vont successivement se réfléchir aux deux extrémités suivant les lois que nous^ venons d'établir. On peut reconnaître- ainsi la périodicité de ce mouvement et la durée de la période.

Considérons, par exemple, un tuyau fermé à ses deux’" extrémités. Un élément infiniment petit de l’ébranlement initial donnera lieu à deux ondes élémentaires. Suivons la marche de l’une des deux. Parvenue à l’extrémité, elle V -, sera réfléchie de manière que la condensation soit restée la même, et la v itesse la même au signe près; arrivée^ la seconde extrémité, elle est de nouveau réfléchie, en conservant la mèmè condensation et la même vitesse au signe près; elle est doue revenue au même état qu’au moment du départ. Or. elle reprendra sa position initiale après avoir parcouru, avec la vitesse a . un espace égal à deu\ lois la longueur du tuyau; et il en sera de même de loifs' . ,

. -. • • . • •: * r*Vv. “» t>ni\lKME PARTIR. — UN v-MIOI R. •*" J i t) > ‘ * /fl

les éléments de l'ébranlement primitif; cl, par-conséquent.

~ à ce même moment, l'état du g a/, dates le tuyau ènlier.sera '<■ identique avec l’état initial. Les étals subséquents seront

doue, les mêmes que ceux, qui ont déjà eu lieu, et ce rAouvemmt sc reproduira périodiquement. Si l’on désigne par l la In ugiieur dn tuyau, la dmée de "la période '

sera — • Un raisoiinemcnt analogue montrerait que, dans

le tuyau ouvert aux deux extrémités, l’état du gaz. redevient encore le même lorsque 1 onde élémentaire a parcouru ' l'espace >>,

Mais si le tuyau est fermé d'un côté et ouvert de l autiv.

T les> clioses ne se passent plus tout à fait de la même ma • : niére^ comme il faut, pour que Tétât du gaz soit redevenu ' ; ; . te même, que l’onde élémentaire ail subi deux fois la même espèce de réflexjou, et que les deux extrémités eu pmdui- • • , jsent d’espèces dilTé tentes , il séra nécessaire que cette onde ait parcouru quatre fpis la longueur du tuyau, et, par

•ri J

• * conséquent, la durée de la période sera —

On de-signe sous le nom de vibration \u\ pietit ntouvetneiij qui se reproduit périodiquement : et l'on reconnaît, en phy- •éque. que le son qui en résulte est d'autant plus aigu que le

est à l’oclavc au-dessous de celui que rendrait un luvau dt *• *’• même longueur, ouvert ou fenné à ses deux extrémités.

. Il est bon de Remarquer que la durée que nous avoua

. reconnue pour la période est udc limite supérieure. Aous avous prouvé qu’après cet intervalle on retombe identique- i . i ment sur le meme état du ga/., et généraluiucitl on n y ré- , f \ . ’

i. . . . ii • -i . • i i ’i .

3aO i ' CQURS DK mkçâhiquk-

cét intervalle ue soit achevé; celte période, plus petite,' ne pourra évidemment être qu’un sous-multiple de la première. Nous ne faisons qu’indiquer ce résultat que unus retrouverons tout à l’heure dans la discussion directe et complète des trois cas que nous venons d’examiner rapi- , ' douent. .

i°. Cas d'un tuyau fermé à. ses deux extrémités.. —

Ën désignant par /.la longueur du tuyau AB (fig . 17) et ; conservant toujours les mêmes notations, nous aurons à satisfaire aux équations suivantes : , \

7 Sf

fl 3 -—*

— o pour x == o et pour. .r~ /,

de <• , - . . , ;

= :}- (■*) - 777 = — t»’X (■*) • pour ' t =. O.

rir

L’intégrale générale de l’équation (1) est

. .y = F, (x ■+• ut) '■+/, (* — at}.- ■ ... .*••••

La condition (2) , relative à JC = o, conduit à l’équation suivante, dans laquellè z désigne une quantité arbitraire :

La même condition ( a) , considérée pour x = /, donnera

Les fonctions F et f qui se déduisent, comme nous l’avons déjà fait voir, des fonctions données 11e sont déter-

minées, comme ces dernières, que pour les valeurs de la variable qui sont comprises entre o cl /. Les équations ( 4 ) et (5) vont Ips déterminer complètement, et l'on saura alors quel devrait être l’état initial du gaz dans un tuyau

DKUXIKMK PARTIK. — HVKROIIYJfAM I^IIK . 3.'. I

indéfini dans les deux sens, pour présenter entre o et/ tous les mêmes effets qui vont se produire dans le tuyau en question.

L'équation (4) exprime, comme nous avons déjà eu occasion de le remarquer, que si 1 on considère les courbes ayant pour équations

depuis x = — oo jusqu’à x — -f- oo , le lieu formé de la partie de l’une située d’un coté de A, et de la partie de l'autre située de l'autre côté , a le point A pour centre.

L’équation (5) exprime qu’il en est de même relativement au point H. Ce lieu ayant deux centres A , B, en a une infinité d’autres, distants les uns des autres de cette même quantité l, et situés à droite et à gauche de l’origine A, comme l’indique la figure. Il en résulte que chacune des fonctions F et f est périodique par rapport à la variable, et conserve la même valeur quand cette variable augmente ou diminue de a /.

Cette propriété importante peut d'ailleurs facilement être déduite des équations (4) et (5). En effet, si dans la dernière on change z en z -f- /, elle devient

résultat qui , combiné avec l'équation (4) , donne, quel que soit z,

d’où il résulte que la fonction F est périodique, et que la période se rapporte à 1 étendue 2 / de la variable. On prouverait semblablement la périodicité de la fonction f. On changerait z en z — / dans l’équation (5), ce qui don- ■i. 2 1

liera il

< OURS PE M EOAHIOtTF

et, en vertu de l'équation (4) ,

Celte équation ayant lieu, quel que soit .s, en grandeur et en signe, prouve que la fonction / est périodique, et que, de même que pour la fonction F, la période se rapporte à l'étendue 1 1 de la variable.

Cela posé, on déduira, comme précédemment, de la valeur de <p,

u = F (x -t- at) H-/(x — at),

« 7 = — F(x-t- at) -t-/(x — at).

Or, il suit de la périodicité des fonctions F et J\ que la vitesse et la condensation redeviennent les mêmes en un même point quelconque, «à des époques distantes les unes des autres d’un intervalle T, tel que 1 on ait

L’état du tuyau est donc périodique et se reproduit indéfiniment à des époques distantes les unes des autres de l in-

lcrvalle — -, comme nous l’avions déjà trouvé.

a°. Cas d'un tuyau ouvert à ses deux extrémités. — Dans ce cas, la condensation devant être nulle à chaque instant aux deux extrémités-, on devra avoir, quel que soit /,

— = o, pour x — o et pour x = t.

<lt '

ce qui exige que l’on ail , quel que soit z ,

DFIXILMK PARTIE.

H Y HROHYN VMIQCF..

changeant z en z -f- / dans l'équation (?.), ou obtient F(2/ + s)=/{— *), et, d’après l'équation (i) ,

donc encore la fonction F est périodique , cl sa période répond à l'étendue a /de la variable.

On arrive à la même conséquence pour la fonction f en changeant z en z — / dans l’équation ( a) ; ce qui donne

et, d’après l’équation (i),

/(a /-z)=/(— sj.

L’état du tuyau est donc encore périodique, et est le même à deux époques quelconques séparées l’une de l’autre par

un intervalle égal à — • a

3°. Cas (t un tuyau ferme d'un côté et ouvert de 1 autre. — Supposons qu’à l’extrémité prise pour origine , le tuyau soit fermé, et qu’il soit ouvert à l’autre, on devra avoir, quel que soit t ,

■rw

pour .r = o,