DEUXIÈME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE

autres. Ainsi le mouvement longitudinal, déterminé par u, sera indépendant du mouvement transversal , déterminé par y et z.

Si les forces X, Y, Z sont nulles. les équations (i) se réduisent à . ' - .

. . dO Si f/x’ ' .

Ut - e d'x‘

FJles sont toutes les trois de même forme que celles qui déterminent le mouvement d’un gaz dans un Unau cylindrique, et elles donneraient lieu à des questions analogues -à celles que nous avons résolues avec détail dans la théorie du mouvement des gaz. On trouverait ainsi qtle la vitesse

de propagation dans le sens longitudinal est y/ ■» et qu elle

est y/^ dans le sens perpendiculaire. On trouverait encore

que la durée des vibrations longitudinales du fil ayant la longueur Z est 2 Z y' J « , et l’on voit qu elle est indépendante de la tension du fil; la durée des vibrations transversales

sera 2 Z y/-- plie, est indépendante de à.

Vibrations longitudinales des verges.

215. On peut remarquer que l’équation qui -détermine u a été obtenue sans supposer que le fil fût flexible èt d’une petite épaisseur. Elle aurait lieu, par conséquent, pour une verge élastique dans laquelle on ne considérerait que des mouvements longitudinaux, qui seraient les mêmes pour

tous les points d'une même section transversale. L'allongement o' que subit funité de longueur, sous l'action d'une force égale à l’unité, variera en raison inverse de l'aire de la section transversale; niais la masse e de l’unité de longueur variera proportionnellement à cette même aire; de sorte que le produit de sera indépendant de l'épaisseur de la verge. ' ■ *

* Lorsque les extrémités de la verge seront fixes, la durée des vibrations longitudinales sera toujours 2 / \fdi, comme nous l avons trouvée tout à l’heure dans le cas du fil élastique. Mais on peut encore se proposer de déterminer le mouvement de ces dillérents points lorsque ses deux extrémités seront libres, ou lorsque l'une sera libre et l'autre fixe. ‘

La tension de la verge sera invariable à l'extrémité libre,

et l’on devra, par conséquent, avoir constamment^ = o

en ce point. Ces deux nouvelles questions n’offriront pas plus de difficulté que la première, où l’on a supposé les deux extrémités fixes. O 11 trouvera que si les deux extré- - mités sont libres, la durée des vibrations longitudinales est la même que si elles sont toutes deux fixes; mais que, si l’une est fixe et l’autre libre, la durée des vibrations est double. Il y a donc une analogie complète entre les vibrations longitudinales des verges et celles des gaz renfermés dans des tuyaux cylindriques ; une extrémité fixe de la verge correspondant à une extrémité fermée dans le tuyau , et une ‘extrémité libre à une extrémité ouverte.

Des petits mouvements d’un sj slème quelconque de points.

216. Considérons un système quelconque de points assujettis à des liaisons exprimées par des équations entre leurs coordonnées , et dans un état d’éqnilibre stable, sousTin-