DEUXIÈME PARTIE. — DYNAMIQUE

quelconque, on appliquait à la planète une force accélératrice égale, parallèle et de sens contraire à celle qui donnerait au soleil le mouvement qu’il a dans l’espace , la résultante de cette force et de celle qui est réellement appliquée à la planète est constamment dirigée vers le centre du soleil. Maintenant, la seconde loi de Kepler, faisant connaître la trajectoire relative de la planète, va déterminer la fonction qui représente l’intensité de la force relative qui la fait décrire. Soient ia le grand axe de cette ellipse, e son excentricité, r le rayon vecteur mené du centre du soleil à une position quelconque de la planète, et w l’angle quti forme son grand axe avec la ligne fixe passant par le centre du soleil , à partir de laquelle nous comptons les angles 0 qui déterminent le rayOn vecteur. L’équation de celte courbe sera .

a(t — e 1 ) i i-f-ecos(0 — w)

r — OU - = — r -r •

l-f-ecos(0 — u)' r a (t — e ’)

ür, nous avons trouvé, pour l’expression générale de la force accélératrice <p, la formule suivante:

L équation de la trajectoire que nous considérons donne

e cos (0 — u )

Donc

et, par suite,

r de 1 n(i — c ’)

Cette valeur étant positive, il s’ensuit cjuc le mouvement relatif d’une planète quelconque autour du soleil est produit par une force dirigée vers le centre de cet astre, et sa grandeur varie en raison" inverse du carré de la distance à ce point.

lin calcul analogue conduirait à cette même loi si la trajectoire, au lieu d'ètre une ellipse, était une parabole ou une hyperbole.

14. Il reste encore à comparer les forces accélératrices qui agissent sur des planètes différentes placées à la même distance du soleil.

Or, à l'unité de distance, on a

c désignant le double de l'aire décrite par le rayon vecteur dans l’unité de temps. Si donc T est le temps de la révolution entière, on aura

et, par conséquent,

à l’unité de distance du centre du soleil. Mais, d’après la

troisième loi de Kepler, le rapport est le même pour

toutes les planètes; donc la force qui sollicite l’unité de. masse de chacune d’elles vers le centre du soleil est la même à la même distance de ce point.

Ainsi les mouvements relatifs des planètes sont dus à une force dirigée vers le centre du soleil, proportionnelle à la masse sur laquelle elle agit, et en raison inverse du carré de la distance à re centre.

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15. Mais il ne faut pas se méprendre sur le sens rigoureux de ces conséquences.

Les lois de Kepler prouvent que, dans le mouvement volatil' tel qu’il a lieu pour une planète quelconque, la force qui agit sur ce corps suit la loi que nous venons de déterminer; mais s’ensuit-il que cette loi serait la même pour un autre mouvement de la même planète? Par exemple, ce corps, placé sans vitesse à différentes, distances du centre du soleil, serait-il attiré vers ce point en raison inverse du carré de la distance? Cela ne résulte nullement de la valeur irouvée pour ip, car elle aurait pu être exprimée en fonction de 0, et même de t \ et l’on en aurait conclu, avec autant de raison , d’autres lois pour la force accélératrice. Ces lois auraient été prouvées pour le mouvement en question, mais non pour aucun autre; et il est évident que deux ‘ • d’entre elles au moins ne sauraient être générales, puisque chacune d’eHes exclut les autres.

Néanmoins, l'ensemble des résultats relatifs aux différentes planètes peut conduire à la connaissance de la loi générale que suit la force qui produit leurs mouvements. On*. reconnaît d’abord qu’elle ne peut dépendre du temps; càr, pour chaque planète, la force serait exprimée par une fonction périodique, dont la période aurait la même durée que la révolution de cette planète; ce qui ne saurait être, puisque ces durées varient d’uuc planète à l'autre. On ne peut admettre nou plus que la force dépende de la direction, car les calculs relatifs à chaque planète ne s’accorderaient pas à donner une même forme à cette fonction. Au contraire, tous ces mouvements conduisent à une même • expression de la force accélératrice en fonction de la distance; on ne peut donc douter que ce ne soit là la vraie loi suivant laquelle la matière qui compose les planètes est attirée vers le centre du soleil, autant toutefois que les lois de Kepler seront regardées comme exactes cl immuables.

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a8 * COURS DE MÉCANIQUE. ,

Cette action, dirigée constamment vers le centre du soleil, semble ne pouvoir être attribuée qu’à la matière même qui compose ce corps ; et , si l’on étend aux corps célestes, agissant à distance les uns sur les autres, le principe de l égalité de l’action et de la réaction, on doit admettre que le soleil est attiré vers chacune des planètes proportionnellement à leurs masses respectives. Mais le soleil attirant la matière de toute espèce qui compose toutes ces planètes placées si diversement par rapport à cet astre, il est impossible de se refuser à admettre qu'il attire aussi , de la même manière, les satellites de ces planètes 5 et, comme les rayons menés du centre du soleil aux difl’érents points d’une planète et de scs satellites sont sensiblement égaux et parallèles, on peut regarder ce système comme sollicité par des forces parallèles et proportionnelles aux masses : d'où il résulte que l’action du soleil ne change pas sensiblement les mouvements relatifs d’une planète et de ses satellites.

Or les lois de Képler s’étendent à ces derniers mouve- •ments; il s’ensuit donc, par les mêmes raisons déjà données pour les planètes relativement au soleil, que les satellites d’une même planète sont sollicités vers le centre de cette planète par des forces proportionnelles à leurs masses, et en raison inverse du carré de la distance à ce centre. Et d’après ce principe de l égalité de l’action et de la réaction, les satellites attirent leur planète commune, proportionnellement à leurs masses respectives et à la même fonction des distances. ,

Une planète attirant le soleil proportionnellement à la masse quelle possède , il est naturel d’admettre que toutes • les parties qui la composent concourent à produire cetteaction dans la proportion de leurs propres masses, et qu’ainsi une molécule quelconque de cette planète attire le soleil dans le rapport de la masse de celte molécule à celle

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