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DEUXIÈME FAETIE. — DYNAMIQUE. 2lJ
tic la planète. 11 est aussi naturel d'admettre qu'il on est de même pour l’attraction qu’exerce la planète sur ses satellites, cl qu'une molécule quelconque de cette planète attire un satellite daris le rapport de la masse de celte molécule à celle de la planète. Maintenant les satellites d’une même planète étant attirés par elle, proportionnellement à leurs masses, on en conclut encore que leur réaction, égale et contraire, est proportionnelle à leurs masses, et que, par conséquent, toutes les parties d'un satellite attirent proportionnellement à leurs propres masses. Enfin , par analogie, on étendra la même propriété à la matière du soleil , et l’on admettra que toutes les parties qui le composent attirent la matière proportionnellement à leurs propres masses, et en raison inverse du carré de la distance. En généralisant cette conception , on regardera comme uuq loi commune à toute la matière qui compose notre système planétaire, que deux molécules quelconques s’attirent l'une l’autre, proportionnellement à leurs masses, et eu raison inverse du carré de leur distance.
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16. Si les corps célestes étaient exactement sphériques et formés de couches concentriques homogènes, nous avons démontré que, dans la loi d’attraction que nous admettons, ils agiraient les uns sur les autres comine si toute leur masse était réunie en leur centre. 11 n’en sera pas tout à fait ainsi , parce que leur figurfe dillère un peu de celle de la sphère, mais il n’en résultera que des perturbations dont on ne doit pas tenir compte dans une première approximation. Nous considérerons donc le soleil, les planètes et leurs satellites comme des points matériels de masses différentes qui s’attirent tous proportionnellement à leurs masses , et en raison inverse du carré de la distance.
L’attraction qu’éprouve une planète de la part des autres
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COURS DK MÉCANIQUE.
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corps du système, produit dans son mouvement autour du soleil des perturbations, qui sont l’objet principal de la mécanique céleste; nous ue nous en occuperons pas dans ce Cours, et nous considérerons ce mouvement pour chaque planète, dans la supposition où il résulterait de la seule action qui existe entre elle et le soleil.
Cela posé, désignons par y l’attraction mutuelle de deux unités de masse, supposées réduites à de simples points, et placées à une distance égale à l’unité de longueur. Soient M et m les masses du soleil et d’une planète ; leur action mu-
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tuelle à la distance r aura pour expression - — — • La force
accélératrice sera pour la planète , et pour le soleil ^
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et pour chacun de ces deux points clic sera dirigée vers l’autre. Si donc ou veut connaître le mouvement relatif de la planète autour du soleil, il faudra supposer qu’elle soit ' sollicitée par une force éga^e à la somme
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dirigée vers le soleil , que l’on considérera alors comme fixe; car, d'après la théorie générale du mouvement relatif, on doit appliquer au point dont on étudie le mouvement, une force accélératrice égale, parallèle, et de sens contraire à la force accélératrice qui agit sur l’autre; ou peut ensuite considérer ce dernier comme fixe, et le mouvement de l’autre comme un mouvement absolu. Quant à la vitesse initiale qu’il faudra supposer au point mobile, elle sera la résultante de sa vitesse absolue initiale, et d'une vitesse égale parallèle et de sens contraire à celle de l’autre.
Or, dans le mouvement relatif d’une planète autour du
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aération de la force centripète. Avant d’ex- ,‘lliode , nous rappellerons quelques formules ipse, et qui sont d'une application fréquente. b (fie. 3) les demi-axes d’une ellipse, c la
URUXIKME PARTIE. — DYNAMIQUE- 1 . i-." <4.‘-
soleil, nous avons trouvé * * “ ■ pour l’expression de la
force accélératrice relative, en supposant la distance égale à l’unité; nous aurons donc, d’après ce que nous venons
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t par là que — dépendant de ni doit varier d’une -• ifij"; 2a
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•a 1 autre, a moins qu elles n aient des masses égales, . - ' * r
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' r ' V planète à
V.--*' - . . ce q u » n’a aucune vraisemblance. Mais, comme l’observa- "fi*, fiîfi- ' ‘ I • lion a conduit Kepler à regarder ce rapport comme le même .• . * ' VaJ pour toutes les planètes, on est obligé d’en conclure que le terme fin est une très-petite partie du second membre f - ,'é f (M -f- /«), et que par couséquent la masse rn d’une pla- .fi' "
• nète quelconque est très-petite par rapport à la masse M du " fi\ $
soleil. Nous verrons bientôt l’application de cette impor- *
tau te remarque ’■ * •m- .«.-.-jj-j,.. . .«
17. Nous avons été conduit à la loi de l'attraction en faisant usage de formules générales relatives aux forces centrales; mais on pouvait y parvenir plus simplement par ~ - : -
distance du centre aux foyers. Joignons un point quelcon- 1 • ' • ■ que M de celle courbe aux foyers I*’, F' ; abaissons de F, F'’ \ . et du centre O, les perpendiculaires FP, F' P', OQ sur la .. - ’ tangente en M, et tirons la normale MN. Posons
32 COURS or. MÉCANIQUE.
on obtiendra facilement les formules suivantes :
c? , fS ,
FN= — y
coso> = sm FMP= q = ——
ab b 1
De ces équations on tire
pi>' = b\ qn — b\
pp — qn , ou p ; n ; ; q : p .
La proportion p'.nwq'.p' résulte aussi de ce que les deux quadrilatères FPMN et OQP'F' sont semblables, par suite du parallélisme des lignes FAI , OP'.
Dans toutes les sections coniques, le rayon de courbure R est égal au cube de la normale divisé par le carré du demi-paramètre. En effet, abaissons les perpendiculaires MI, M'I' sur les rayons menés à deux points infiniment voisins M, M'; a pour limite i , donc aussi Donc, en désignant par a , a' les angles WF' M', MFM', on aura
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" n cos m ab h’
t + a = “V + l) = ~’ ou 0 = T"
