DEUXIEME PARTIE. HYIinOllYMAMKjllK. 35g

ment initial, le mouvement serait produit par les nouvelles forces seulement, et il serait le même que si l’on partait d'un état initial où les déplacements seraient, au signe piès, eeux qui correspondent au nouvel équilibre, et les vitesses uulles.

224. Superposition ries effets. — La question étant ramenée ainsi à la première, dans laquelle il y a un simple dérangement du système, sans introduction de nouvelles forces, le principe de superposition déjà démontré s’y appliquera. Or, l'état initial peut être considéré comme la superposition de deux autres, dont l'un serait le proposé , et l’autre consisterait uniquement dans les déplacements, changés de signe, qui font passer de la première position d’équilibre à la seconde, et qui sont, au signe près, les valeurs de a i , 6,, 71 ,... tirées des équations (9).

D’où l’on voit que le mouvement cherché résultera fie la superposition de deux autres : l’un correspondant à l'état initial proposé, sans introduction de nouvelles forces ; l'autre correspondant à l’introduction de ces forces , sans déplacement ni vitesse dans l'état initial.

Quant ail premier de ces deux mouvements, nous avons déjà démontré qu’il pouvait se décomposer d'une infinité de manières; et il est facile de voir qu'il en est de même du second : car la forme des équations (9) montre que si l’on partage les quantités H, K , L,... en un même nombre de parties quelconques, qui pourront être milles; que l'on ne prenne d abord que les premières parties , puis les secondes seulement, et ainsi de suite, les valeurs de , 6,,... qui satisferont à ces systèmes partiels étant respectivement ajoutés, formeront la solution des équations (9). Or, si l’on partage les forces introduites en un nombre quelconque de groupes, les ternies tout connus qu’ils donneront dans les équations d équilibre étant ajoutés entre eux, formeront

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3 Go cnuas ur. mécanique.

respectivement les quantités H , K, L, Doue les valeurs

de a,, S,,... qui correspondront à chacun de ces groupes étant respectivement ajoutés, formeront les déplacements produits par les forces introduites. Or, les clfetsdes déplacements s’ajoutent ; donc ceux que les divers groupes de, forces produiront, se superposeront eux-memes.

223. Intégration des équations. — Intégrons maintenant les équations (6) auxquelles tous les cas se ramènent, et dont le nombre , que nous désignerons par n , est égal à celui des coordonnées indépendantes.

On aura une solution de ces équations en posant

a = sin (rf -H s ) ,

€ = R, sin ( rt -4- s),

7 = R, sin (rt -+■ a), st' — sin (rt -f- s).

Substituant ces expressions dans les équations (G), R,, R,,... n’entreront qu’au premier degré, et, si on les élimine, on reconnaîtra facilement que l’équation finale eu r sera du degré n par rapport à l’inconnue /•’; ou aura ainsi n valeurs pour r, en ne considérant pas les valeurs négatives, parce que les solutions qu’elles donneraient rentreraient dans les autres. Ces valeurs seront toutes réelles et inégales, sans quoi les inconnues s’exprimeraient par des exponentielles ou des ternies algébriques qui croîtraient avec le temps, ce qui est contraire à l’hypothèse d’un équilibre stable. 11 faut en excepter toutefois les cas particuliers où les coefficients de ces termes se trouveraient nuis d’après l’étal initial.

Chaque valeur de r déterminera un système unique de valeurs pour R,, R,,..., à moins qu il n’y ail iiidétcrmi-