DEUXIEME PARTIE'.' — HYDRODYNAMIQUE. 36l

nation; et si l'on multiplie les valeurs de a, g, y ,... par une constante arbitraire R, on aura encore une solution des équations ( 6 ), et il entrera dans chaque inconnue les deux constantes arbitraires R et s. En ajoutant les solutions obtenues ainsi pour chacune des n valeurs de r, on aura la solution générale des équations ( 6 ) , puisqu’il y entrera a n constantes arbitraires R, R',..., s, s',.... Elle sera donnée par les formules suivantes :

a = R sin ( rt -t-r) -|- R' sin (r't+ s') ■+-. .

6 = RR, sin (rt -+- jt) -+- R' R', sin (r'f -4-/) -H . . y = RR, sin (rt -+- s) R'R' 3 sin(r'/ -b s') -I-. .

Ees a n constantes se détermineront par les valeurs ini-

tiales de « . 6 , 7 , a', . . . , ~ ,

226. Décomposition du mouvement en oscillations simples. — Les mouvements particuliers du système qui correspondent à chacune des n valeurs r, r',... jouissent de quelques propriétés remarquables. Considérons, par exemple, la première : nous aurons

a = R sin (rt -f- s),

6 = RR, sin (rt + j), y = RR, sin (rt -J- x), a! ~ RR; siu (rt -I- r),

Or, les déplacements a, 6 , y étant dans des rapports constants, quel que soit t , il s’ensuit que le mouvement du point rn est rectiligne; et il en est de même de tous les autres. On voit, de plus, que ce mouvement est périodique,

pt que la durée de la période est —■ Ainsi, tous les points

- • . ^3». 1» ta» .y. L v r

3Gî COURS l)K UKCANIQU*.

font des oscillations rectilignes de même durée; ils coin -

incncent et finissent ces oscillations en même temps, et les

espaces qu'ils parcourent sont dans des rapports constants.

C’est là ce que nous appellerons un mouvement simple du

système.

Maintenant la seule inspection des équations (n) démontre la proposition suivante :

Tout mouvement d'un système de points en nombre fini, qui ont été déranges infiniment peu d'une position (T équilibre stable, peut être consir/éré comme résultant de la composition des tliverses oscillations simples dont il est susceptible.

Ces oscillations sont en nombre égal à celui des coordonnées indépendantes, à moins qu'il n’y en ait une infinité, comme'nous l’avons remarqué précédemment : celles d’un même système sont synchrones, ou de même période; leurs directions diverses et la durée de la période dépendent uniquement de la nature du système, mais leurs amplitudes et les coefficients qui les affectent dans la solution générale, dépendent de l’étal initial d’où l'on part.

227. Considérons comme exemple le cas très-simple d'un point unique, soumis à la seule action de la pesanteur, et assujetti à rester sur une surface quelconque. Si on l’écarte de sa position d’équiübre au point le plus bas de la surface, et qu’on lui imprime une très-petite vitesse, il peut décrire une infinité de courbes différentes, dépendantes de l’état initial; mais, comme il n’y a que deux coordonnées indépendantes , il n’existe que deux systèmes à' oscillations simples, et l’on prouvera facilement qu’elles ont lieu sui\ant les deux lignes de courbure de la surface au point le plus bas. Tout autre mouvement résultera de la combinaison de ces deux-là dans des proportions con> c-