deuxième partie . — dynamique
Ot il s’agit d’abord de savoir le<|uel des deux signes il convient de prendre.
Nous considérerons dO comme toujours positif; dz sera positif quand le rayon vecteur décroîtra lorsque 0 croîtra, et négatif dans le, cas contraire; dans le premier cas, on prendra le signe -+- pour le second membre de l’équation, et le signe — dans le second cas, le radical étant toujours considéré- comme positif.
11 faut donc d’abord chercher où ont licu'les changements de signe de dz ; ils correspondent aux valeurs maxima ou ■mini ma de z , et on les obtient en posant
— = o, ou Sz'— 2 fiz— b = o;
d’où
Lorsque z passera par l’une quelconque de ces valeurs, on devra changer le signe de dz et le conserver jusqu’à ce que 2 arrive à l’autre valeur ; alors on changera de nouveau le signe de dz, et ainsi de suite indéfiniment.
Supposons, pour fixer les idées, qu’à partir de la position initiale correspondante à r== les rayons commencent par croître, c’csl-à-dire que l’angle a. soit aigu : alors, dz étant négatif, ou a
d’où l’on tire, en intégrant à partir des valeurs 0 O et z 0 relatives à la position initiale,
. . c 1 z — ti c’a, — ii
0 — '),=■ arc cos ■■ — arc cos — — •
V fi’ -t- bc* ^fi’-t- bc*
^8 COURS DR MÉCAMQUR.
Si l’on pose 0, — arc cos - - 1 ' - — = 6 t , la valeur île 0
y ft’ -+- 6c 1
sera donnée par l’équation suivante :
0 — 0, =r arc cos
\Z;i ! -4- bc J
Mais il y a une observation importante à faire dans les intégrations où entrent des arcs de cercle, et qui se rapportent aux limites entre lesquelles les différentielles conservent la même expression. Ainsi, par exemple, la différentielle de arc cos u est ■ .-^ u . quand l’arc a son sinus
positif; elle est, au contraire,
du
quand le sinus est
\Jl M J
négatif.
L’équation (5) n’est donc exacte qu’eu supposant , comme on peut toujours le faire, que l’on prenne, pour la valeur initiale de l’arc qui y entre, une quantité comprise entre o et r. ; et l’on pourra l’employer tant que la valeur croissante de cet arc restera comprise dans les mêmes limites, c’est-à-dire jusqu’à la valeur de r, pour laquelle on aura
et quand z aura passé par cette valeur, il faudrait changer de signe le second membre de l’équation (4) pour qu’il fût toujours la différentielle de l’arc. Mais cette valeur de z est précisément l’une de celles où l’on doit changer de signe le second membre de celte équation pour qu’il soit le même ■ que celui du premier. Donc l’équation (5) subsiste au delff de cette valeur, et jusqu’à ce que l’arc soit devenu égal à an, puisqu’alors le sinus redevenant positif, on devra
; DEUXIÈME PARTIE. — r- DYNAMIQUE. 4*)'
changer le signe de <lz pour avoir encore la différcntielle de l’arc. Or, quand cet arc devient a tr, son cosinus devient , i,et l’on a
et c’est encore là Une valeur de z après laquelle oh doit changer le signe de dz pouf que lès deux membres de l’équation (4)- soient de même signe. 'Donc enfin, dans toute l’étendue du mouvemeut, l’équation (5 ) subsiste sans aucune modification. Et la discussion serait entièrement semblable si l’on avait supposé l’angle a obtus , c’est-à-dire si les rayons commençaient par décroître : l’arc se trouve-, rait avec un signe contraire dans l’équation (5), et cette forme devrait être conservée dans toute l’étendue du mou- -vement. Ce changement de signe donnerait pour 0, une valeur différente de la précédente ; mais, à cela près, le résultat ne différerait pas de celui que lions allons déduire de l’équation (5).
Cette équation peut être mise sous la forme
= — cos (0 — 9,) ; •
remettant pour
r z sa valeur -, on ohtient r
