DEUXIÈME PARTIE, DYNAMIQUE. 5g

31. Le mouvement angulaire de la planète serait uniforme, si l'on pouvait négliger le terme 2 e sin nt. Mais on peut toujours se représenter un point dont le mouvement angulaire aurait pour équation 9 == nt , et qui partirait du périhélie eu même temps que la planète ; il passerait encore en même temps qu’elle à l’aphélie, parce que pour ce point, on a 9 = 7t, et, par conséquent, sinnt = o. Dans la première moitié de la trajectoire, la planète réelle est en avant de la planète fictive, d’une quantité angulaire dont la valeur approchée est 2 e sin nt , et ([lie l’on nomme Y équation du centre. Dans la seconde moitié, au contraire, c’est la planète réelle qui est en arrière de l’autre, puisque sin nt est négatif; elle la rejoint au périhélie, et le même mouvement recommence et se-reproduit indéfiniment.

On donne à cet angle nt le nom d 'anomalie moyenne ; on l’appelle encore le moyen mouvement de là planète.

La considération de cet astre fictif est utile dans le cas de. la terre pour la détermination du temps moyen. On corrige ainsi l’inégalité du mouvement du soleil dans l’écliptique; il reste encore à corriger celle qui provient de 1 inclinaison du plan de l’écliptique sur celui de l’équateur; et c’est à quoi l’on parvient en imaginant un second astre fictif dont le mouvement est uniforme et compris dans le plan de l'équateur. C’est lui qui détermine ce que l’on appelle le temps moyen ; il coïncide quatre fois dans I année avec le temps wai’qui est indiqué par le soleil réel.

Nous allons maintenant chercher le développement des valeurs des deux coordonnées r et 0 de la planète en fonction de t. Nous nous servirons, à cet effet, d’une formule importante due à Lagrange; et quoiqu'elle se rapporte naturellement au cours de calcul différentiel, il 11 e sera peut-être pas inutile d’en donner ici la démonstration.

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Formule (le Lagrange pour le développement de certaines fonctions implicites.

32. Considérons la fonclion z de la variable ar, déterminée par l’équation

f désignant une fonction donnée quelconque, et a une quan-

tité très-petite par rapport aux puissances de laquelle nousnous proposons de" développer z. Les coefficients de ces puissances seront des fonctions de x qu’il s’agit de délcr- miner, et, d’après le théorème de Maclaurin, seront les valeurs que l’on obtient en faisant = o dans z\ et toutes ses dérivées par rapport à a , x étant regardé comme une constante, La. question se réduit à trouver la loi de ces dérivées. ^

Ce premier problème n’est qu’un cas particulier de celui que nous avons en vue , et qui a pour objet le développement d’une fonction quelconque de z , suivant les puis- • sances de" a. ‘ . •

Au lieu du développement que nous cherchons, on pourrait , par des substitutions successives , obtenir des valeurs de plus en’ plus approchées de z. -Ainsi, en substituant', dans le second membrede l’équation (i), à z sa première valeur approchée de x , on aurait

z z= x - 1- af(x).

Substituant maintenant cette nouvelle valeur plus approchée dans le môme membre, on obtiendrait

z = x -t- af[x + a/(jf)],

cl Ion pourrait continuer ainsi indéfiniment; maison aurait, de celte manière, fies formules très-compliquées , et