DEUXIEME PARTIE. DYNAMIQUE. Cl
qui ne permettraient pas d’apprécier le degré d’approximation ; et c’est pour celle raison qu’on a ehcrclié un développement ordonné suivant les puissauecs de «, et qui est d’autant plus convergent que a est plus petit.
D’après la formule de Maclaurin , nous aurons
11 faut donc connaître la valeur de z et do ses dérivées par rapport à a, quand on y fait « = o. L’éqiiation (i) montre que z se réduit, dans ce cas, à x-, ainsi = x, et il reste
à trouver généralement
Pour cela, commençons par différenlicr partiellement l'équation (t) par rapport à chacune des deux quantités .r et a, considérées comme variables indépendantes; nous aurons
rte
dx
dz H a
et, en éliminant f (a),
Cette formule ramène les différentiations de z par rapport à a, à celles de z par rapport à x, dont l’emploi est trèsavantageux, comme on va le reconnaître.
On tirera déjà de là î car » ^ am l’hypothèse de
a = o ,2 devient X , et y- devient i ; ce qui donne
Cr?. cours de mécanique.
Pour obtenir - — » diflérentions les deux membres de 1 éqiia- « a’
lion (a) par rapport à a, il vient
d'z dz dz : . d’z
fl Î 2, % . % ,
on obtiendra -7 — — en différcntianl par rapport à X la rlx d a 1 *
dz
valeur de ~ > fournie par l'équation ( 2) ; ce qui donne
rf ’* ... n .\ dlz .
■ dxdz~f * \rf-rj + dx
et, substituant, dans le premier terme de la dernière équation , à sa valeur donnée par cette même équation, on
aura la valeur suivante de au moyen de dérivées de 2 par rapport à x,
et comme ce second membre est la dérivée, -par rapport à
dz
x , de (J'z)* -f-i on aura enfin
dx
et faisant a = o,
/^*\ d -(AY ,
\da} /„ r/x
. Or, nous allons voir que toutes les dérivées suivanles.de z par. rapport à « s obtiennent , pour a — o, par des diffé-
1IMIX1KMÏ PARTIF. DYNaMIQUF. 63
renlialions par rapport à x , effectuées sur les différentes
puissances def [x).
Pour avoir la valeur de-—? il faudrait différai lier, par dur • *
rapport à 3 , le second membre de l’équation -(3) ; et,
comme l’ordre des différentiations par rapport à x et a
est indifférent , on pourra commencer par différentiel'
' ■ ilz *•
[fz )* par rapport à «, puis le résultat par rapport à x.
Mais, pour n’avoir pas à recommeucer toujours les mentes
réductions, nous allons considérer généralement <f[ z ) ~f~ ’■
en prendre la dérivée par rapport à * , et la ramener à des dérivées par rapport à x.
On aura d’abord '• * • •
Va
ilz riz . </’ Z
remettant pour > ! “v les mêmes valeurs nue précédent - ‘ a a dxtlu. * 1 ,
ment, cette expression devient
■ <w/w(i)Vtw/'(.)(|)V,(.)/t.)g,
ce qui n’est autre chose que la dérivée, par rapport à .r, de Ÿ (")/ ( s ) T" a donc la formule générale
Au moyen de cette formule, ou aurait déduit l'équation (.3) de l’équalion ( 2 ), en supposant f (?) = J (?)
Si l'on suppose maintenant <jp (s) = (Jz )’, on aura
et, par conséquent, en différeutiant l'équation ( 3 ) -parrapport à at, on obtiendra
rf !
[wz]
•Supposant ensuite 9 (s) = {/*)*■> on piasscra et la loi
que ces premières formules manifestent s’observera indéfiniment-, car, si l’on a
■ rf R,
rfa" rfx"-'
en différentiaut les deux membres par rapport à a, en faisant usage de 1 équation (4), et en prenant ÿ (z) = (/r)”, on obtiendra . '*
tix n
ee qui lait voir que la loi supposée pour l’ordre n a lieu pour le suivant , et comme elle se vérifie pour les premières dérivées, elle a lieu pour toutes; on a donc généralement la formule •
• . </x m rtc ”-' . • ' . *
Si l’on y fait a = o, on aura . *
dz ,
