dx

.33. Passons au problème plus général dont l’objet serait le développement d une fonction quelconque F (z), suivant les puissances de a, en supposant que z soit toujours déterminé par l'équation (i).

La formule de Maclaurin donne

* . , , !d F\ / rf J F\ a-

Le premier terme n’est autre chose que F (.r), puisque z devient .r, pour a = o. Reste à déterminer généralement

\du m ), ...

On aura d’abord

dx

( ji f

Pour avoir-; — , il faut différentiel' le second membre par

' rapport à a; ce qui se ramènera à des différentiations par rapport à x, au moyen de l’équation (4). On trouve ainsi

dZ

dx

Celte équation conduit de même à la suivante :

et ainsi de suite, en augmentant à iliaque fois l'exposant de f(z) d’une unité, ainsique l'indice de la différentiation du produit entre ces parenthèses. On a donc généralement

ri ai" <hr~'

Si maintenant on fait a = o dans cette formule, il faudra remplacer z par .r et 'j- par i ; d’où résultera

( rf " F \ d— '[F'(x)(yi)"]

V/a™/ - ' Ujc*-'

On connaîtra donc tous les coefficients du développement de F (s) en difièreutiant, par rapport à x , des fonctions connues de cette variable. La formule à laquelle on parvient ainsi est

F(î) = F(a:)-t-aF'(x)/(j) +-

«* rf[F'(*)(/r)*]

dx