PRINCIPES GÉNÉRAUX SUR LE MOUVEMENT DES SYSTÈMES
55. Quelles que soient les liaisons d'un système en mouvement, nous avons vu qu’il y avait constamment équilibre, en vertu de ces liaisons, entre les forces ayant pmr composantes
Or, cet équilibre ne serait pas troublé si l’on ajoutait de nouvelles liaisons qui rendissent rigide le système des
DKlXlRMr. PARTIE.
DYNAMIQUE
tO(
points; donc les équations qui exprimeraient alors l’équilibre ont réellement lieu quand on laisse les liaisons' telles qu elles sont données.
En appliquant cette considération au cas d’un système entièrement libre dans l’espace, ou obtient deux propositions importantes qui se rapportent au mouvement du centre de gravité du système, et aux aires décrites par les rayons vecteurs de tous les points qui le composent.
Les «quations qui déterminent l’équilibre d’un système rigide libre sont au nombre de six. Les trois premières expriment que les sommes des composantes des forces respectivement parallèlesaux trois axes sont nullcs séparément; les trois dernières , que les sommes des moments des forces sont milles par rapport à chacun des mêmes axes rectangulaires. Mous allons examiner successivement les conséquences de ccs deux espèces de conditions.
56. Mouvement du centre de gravité. — Les trois premières équations dont nous venons de parler sont
d’où l’on tire d'x
dt 1
tl'y v Z ni —f- = ïV, dt' '
dt'
Les premiers membres de ces équations peuvent être transformés en introduisant les coordonnées Xi,y,, z, du centre de gravite du système proposé, en entendant par là le point qui , à une époque quelconque du mouvement, deviendrait le centre de gravité du système, si on liait instantanément tons les points entre eux.
102 •' COIIIS DE MECANIQUE.
En ellet, les coordonnées de ce point satisferont aux équations
( 2 ) 2 mx = M x, , 2 my = My, , 2 nu = M z, ,
M désignant la somme totale des masses du système.
Ces équations ayant lieu à chaque instant, on pçurra les différcntier par rapport au temps, et l’on trouvera
, „ , dx .. dx,
' ' dt dt
dy .. <Iy,
TF ~
dt ’
et , en les dift’éreiiliant de nouveau ,
, d‘ x d'x, il' y ..d'y, d' z ..d'z, ( 4 ) £ «J —rr = M — — » lin —r- — M i 2 m —rr = M - ' ^ dt <// 2 .//' ///>
dt'
dt'
dt'
dt'
dt'
d’où, en vertu des équations (i), t
équations qui expriment que les composantes de l’accélération du mouvement du centre de gravité sont identiques à celles que l’on trouverait pour un point dont la masse serait M, et qui serait sollicité par toutes les forces données, transportées parallèlement à elles-mêmes en ce point. Si donc on supposait un point ayant une masse M, partant de la position initiale du centre de gravité, avec la même vitesse dans la même direction, ses coordonnées seraient déterminées par les mêmes équations que celles du centre de gravité, et Ces deux points coïncideraient à chaque instant.
Quant à ce qui se rapporte au mouvement initial , supposons qu’il soit produit par des forces instantanées, ayant pour composantes A, B, C au point /n; A', B', C' au point m', et ainsi des autres, ces forces pouvant d’ailleurs être milles pour un nombre quelconque de ces points. Si l’on
nEVMÈMK PARTIE. — DERAMIQIJÉ. lo3
remplace dans ce qui précède ies forces continues par les forces instantanées, on aura, au lieu des équations (i), les suivantes :
ïm
fix
