DEUXIEME PARTIE. — DÏXAJllgUE

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aurions pu nous passer au moyen du raisonnement précédent, mais que nous aurions pu aussi poser les premières, en partant de l’état initial, avant de considérer les états’ subséquents du système.

Si le système renfermait des points, des lignes ou des surfaces fixes, on pourrait le considérer comme libre, en introduisant les forces qui résulteraient de ces conditions; et le théorème précédent subsisterait bien encore : mais il faudrait ainsi avoir égard à des forces qui ne sont pas données, et qui ne seront connues que quand le mouvement sera déterminé.

57. 11 résulte de là que si aucune force extérieure n’est appliquée au système, et, plus généralement, si les forces qui y sont appliquées se détruisent quand ou les transport^: en un même point, le mouvement du centre de gravité est rectiligne et uniforme. Sa direction est donc celle de sa vitesse initiale, et, par conséquent, de la résultante des forces instantanées qui ont mis le système en mouvement, ou encore, des forces instantanées qui lui donneraient, à un instant quelconque, le mouvement dont il est animé.

Lorsque les points du système exerceront les uns sur les autres des actions réciproques, égales et contraires, continues ou instantanées, le mouvement du centre de gravité n’en sera pas altéré, puisque ces forces, transportées en ce point, s’y détruiraient deux à deux. Ainsi des chocs, ou des liaisons subites établies entre plusieurs corps du système, ou encore des explosions intérieures , produisant uécessai- » rcmentdes actions égales et contraires, ne sauraient modifier en rien le mouvement du centre de gravité. C’est en cela que consiste le principe de la conservation du mouvement du centre de gravité.

11 est essentiel d'observer que toutes les propositions pré-

lOÔ (JltBS lit MKCAMQUK.

cédentcs sont indépendantes de la nature des forees et des lois de. leur aelion.

oo. Principe de lu conserva! ion des moments. — Considérons maintenant les trois dernières équations d'équilibre, qui expriment que les sommes des moments des forees v ri’x v </’r „ d 1 !

X “ m 7 Tô' Y ~ m lïF , L ~ m T* 7 ’ elc -’ par ra PP° rt

aux trois axes, sont uullcs. Ces équations sont

et peuvent se mettre sous la forme

Ces équations ont lieu à chaque instant du mouvement; elles expriment que les sommes des moments des forces données, par rapport aux trois axes , sont égales à celles des moments des forces qui produiraient sur les points libres le mouvement qui a lieu.

Nous nous occuperons particulièrement du cas où les seconds membres des équations (i) sont nuis. Cela aura lieu d'abord si les forces X, Y, Z, .. sont toutes nulle*, .* c’est-à-dire si le système qui a été mis en mouvement est abandonné à lui -même, sans aucune action étrangère.

nreximi! partie. — nvs \Miytr. to^

Cela aura lieu encore si les points sont soumis à des actions qui seraient en équilibre sur le système rendu rigide; car ces seconds membres sont tes sommes des moments des forces par rapport aux axes, et ces sommes sont nulles si les forces sont en équilibre. Cela comprend le cas d’actions mutuelles égales et de sens contraires, et, par conséquent, de chocs quelconques entre les diverses parties du système.

Enfin , ces seconds membres sont encore nuis si toutes les forces appliquées aux divers points du système passent par un même point, choisi pour origine des coordonnées. En effet, les composantes X, Y, Z d’une quelconque d'entre elles étant proportionnées aux coordonnées du point d’application, on aura

jr Z — sY = o, zX — x Z = ii , iY — yX = o.

On voit même qu’il suffirait que les forces eussent une résultante passant par l’origine. De sorte que les seconds membres des équations (i) seront nuis toutes les fois que les forces seraient en équilibre sur le système rendu rigide, et lié au point fixe qui a été pris pour origine.

Le cas dont nous allons nous occuper a donc encore une assez grande généralité.

Les équations (i) deviennent, dans cette supposition,

/ rf’z fl'r\

ïm [ïHF- l lïF) = 0 ’

<*) \ lm { a *r- x lF) =0 ’

\ \ dt‘ J dl' J ’

intégrant par rapport à t , et représentant par c, c 1 , c" trois

COURS lit lIKUMQUt.

constantes, on obtiendra

/ >tx itz\

- n ‘\ z 7ïï-

/ tlf tlx\

Les premiers membres de ces équations sont les sommes

des moments, par rapport aux axes, des forces dont les

composantes seraient exprimées pour chaque point par

<lx i{y tlt , , .. , ,, . ,

m — , m— i m — > c esl-a-dirc des forces instantanées, ilt ilt dt

qui produiraient sur chaque point libre, et parlant du repos, le mouvement dont il est animé.

Ainsi , les équations (3) expriment que les sommes îles moments ries quantités de mouvement qui animent le système à un moment quelconque, estimées par rapport à trois axes rectangulaires , sont constantes ,• et que, par conséquent , il en est. de meme par rapport, il toute direction. Ou, en d’autres termes, si, à un instant quelconque , on considère les forces instantanées qui produiraient sur chaque point libre, et, partant du repos, le mouvement dont il est animé; que l’on décompose chacune de ces forces eu trois autres, dirigées suivant les axes des coordonnées, et en trois couples, ayant ces mêmes directions pour axes; la somme des moments des couples dans chacune de ces directions sera constante; et, par suite, l’axe du couple résultant sera constant en grandeur et en direction.

C’est en cela que consiste le principe de la conscivation des moments. 11 subsiste, quelles que soient les actions mutuelles qui viennent à naitre entre des points du système, comme par exemple si deux points étaient liés subitement l’un à l’autre, si une partie du système, d abord gazeuse,

nEUXlKMK t'ARTIE. — DYSAII1QUE. IOq

devenait liquide, puis solide, pourvu que cela s’opérât par des actions , deux à deux , égales et contraires; ou encore si le changement de température des différents points d'un ' système changeait leurs actions mutuelles, et, par suite, leurs distances. Ces diverses circonstances se présentent dans le système du monde.

11 est inutile de rappeler que les sommes des moments seraient les mêmes pour tout système de forces instantanées, produisant le même mouvement, puisque, d’après le principe de d’Alcmbert, ce dernier système serait eu équilibre avec l’autre pris en sens contraire.

59. Il résulte de ce qui précède que si, à un instant quelconque, on considère comme des forces les quantités de mouvement qui animent les différents points du système, et qu’on les compose comme si elles étaient appliquées à un système rigide, on trouvera toujours la même résultante et le même couple résultant, par rapport à une " même origine.

Si l’on applique à ces forces les propositions qui out été établies dans la Statique relativement à la réduction d’un système quelconque de forces, on obtiendra les conséquences suivantes :

Lorsqu’un système libre quelconque est sollicité par des forces qui se détruiraient mutuellement s il devenait rigide,

La somme des forces représentées par les quantités de mouvement de ses différents points, estimées dans une même direction, est constante.

Le centre de gravité du système se ment parallèlement à la résultante des quantités de mouvement, transportées en u U même point.

La somme des moments de ces quantités de mouvement par rapport à une même droite est constante.