I IO

Si I on considère ces moments par rapport à tontes les droites qui passent par un même point de l'espace, celle pour laquelle la somme est la plus grande est invariable : c’est l’axe du couple résultant des quantités de mouvement, relatif à cette origine. Cette direction, ainsi que la valeur du moment total correspondant , sont les mêmes pour tous les points de la parallèle à la résultante, menée par ce même point. La direction peut être la même , sans que le moment soit le même, dans le seul cas où les forces représentées par les quantités de mouvement sont réductibles à une force unique. Dans ce cas, tous les points du plan mené par cette force et le point que l’on considère, donneront une même direction pour l’axe du moment maximum; mais le moment ne sera le même en grandeur et en direction que pour les points d’une même parallèle à la résultante.

11 existe un axe central unique, parallèle à la résultante , et tel que pour tous ses points sa direction est celle de l’axe du moment maximum; et ce moment est moindre que le maximum relatif à tout autre point de l’espace. Il se détermine facilement dès qu’on connait la résultante et le couple résultant relatif à une origine donnée. Dans le cas où le système des forces représentées par les quantités de mouvement est réductible à une force unique, la droite suivant laquelle clic agit est l’axe central.

Conscivation des moments dans le mouvement relatif . — Supposons maintenant que lis axes auxquels on rapporte la position des points, se meuvent en restant parallèles à eux-mêmes, le mouvement relatif sera identique au mouvement absolu qu’on obtiendrait en partant d'un état initial identique à l’état relatif initial, et introduisant les forces fictives, déterminées précédemment. Dans le cas actuel, où les axes n’ont qu'un mouvement de

DF.DXtiMC PARTIR. — DVXAMIQBR. III

translation, les forces fictives se réduiront, pour chaque point du système, à une force accélératrice égale, parallèle, et de sens contraire à celle qui donnerait à un point matériel libre le mouvement que suit l’origine des axes mobiles.

Lorsque ces forces réunies aux forces données seront en équilibre sur le système rigide, ou donneront une résultante passant constamment par l'origine mobile, le principe de la conservation des moments aura lieu dans le mouvement relatif.

Supposons toujours que les forces données soient en équilibre sur le système rigide. 11 sera nécessaire alors que les forces fictives soient en équilibre sur ce même système, ou bien qu’elles donnent une résultante qui passe constamment par l’origine mobile.

Or, ces forces se composent en une seule, appliquée an centre de gravité du système, parallèle et de sens contraire à la force accélératrice qui produirait le mouvement de l’origine , et égale au produit de cette force par la masse du système. Il est donc nécessaire et suffisant que cette dernière force soit nulle, pour que les autres soient en équilibre. Dans ce cas, l’origine attn mouvement rectiligne uniforme, entièrement arbitraire. On obtient ainsi la proposition suivante: ' ‘

Lorsque, les Jorccs appliquées à un système libre s'y déi misent lorsqu'il devient rigide, le principe île la conservation des moments a lieu dans le mouvement relatif à tout système d' rixes qui se meuvent parallèlement à eux mêmes, de manière que leur point de rencontre ait un mouvement quelconque rectiligne et uniforme.

Le centre de gravité du système ayant , d’après 1 hypothèse , un mouvement rectiligne uuiforine, il s’ensuit que le priuci pea lieu pour un. système d’axes dedireclionsconstan tes

COURS DK MKCAMQUE. *

et dont I origine coïncide constamment avec le centre de gravité du système.

Le même principe aura encore lieu lorsque la résultante des forces fictives, an lieu d'être nulle, passera constamment par l’origine; ce qui exige que la droite menée par le centre de gravité du système, parallèlement à la force accélératrice de l'origine, passe toujours par cette origine même.

On peut donc énoncer cette seconde proposition :

Le principe de la conseivation des moments a lieu, dans le mourcmcnt relatif, lorsque les axes se déplacent parallèlement à eux-mêmes , et. que la Jorce qui produirait le mouvement de l’origine passe constamment par le centre de gravité du système.

Ce principe a donc lieu dans le cas particulier où l’origine a un mouvement arbitraire sur la droite que décrit le centre de gravité.

Cette dernière proposition renferme, comme cas trèsparticulier, une des précédentes , où l’on supposait que l’origine était au centre de gravité lui-même.

On peut remarquer que le principe démontré dans ce numéro renferme celui du numéro précédent. Il suffit, pour l’obtenir, de supposer nulle la force dirigée vers le centre de gravité.

(K). Cas oit le moment a la même valeur que si l’origine ' était immobile. — Les deux propositions précédentes se rapportent seulement à l’invariabilité des moments relatifs; mais on pourrait ajouter encore la condition que ces moments fussent les mêmes que si l’origine restait en repos. Voyons s’il est possible d’y satisfaire.

Prenons pour axes fixes des ;r, y, z une des positions des axes mobiles; soient a, 6, y les coordonnées de l’origine mobile, à une époque quelconque. 1 a somme des moments,

i>F.uxif.ME partie. — iivxamiqik. ii 3

par rapport à l’axe des x, sera

La somme des moments relatifs à l’axe mobile parallèle au précédent sera

On aura de même les moments relatifs aux deux autres axes, fixes ou mobiles.

Or, si l'on désigne par x,, jr t , z, les coordonnées du centre de gravité, et par M la masse totale du système, la différence des expressions (a) et (b) se réduit à

Il s'ensuit que pour que les deux expressions (a) et (b) soient égales, il faut que l’on ait

dt dy

z 'di ~ - r ' dt

dy , . dt,

1 lîi~^ldi

.dy dt

dt dt

Or, on satisfera d’une manière particulière à cette équation en posant séparément

dt

dy

l 'di~ r ' dï^

dy

dï-ldï

ou

y, : s, :: dt : rfy, e : y :: dy, : ds,, e : y :: rfe : dy.

En faisant de même pour les deux autres axes , ou voit qu’011 satisfera à toutes les conditions en posant

a : e : y ; : da \ d 6 : dy : ; dx, : dy, : dz, ;; x, : y, ; z - ,

| | /j COURS DE MECA7ÎIQCE.

ce qui exige seulement que le centre de gravité ex l'origine se meuvent sur une même droite passant par le point qui a été pris pour origine fixe.

On obtient ainsi la proposition suivante :

Lorsque l’origine se meut d'une manière quelconque sur la droite décrite par le centre de gravité du système, les moments relatifs ont la même valeur que si cette origine restait fixe. . r

On en déduit , comme cas particulier, cette autre proposition :

Les moments relatifs à des axes de directions constantes qui se meuvent et se coupent au centre de gravité, sont les mêmes que si ces axes restaient immobiles dans une quelconque de leurs positions.

61 . Conservation des aires. — Les équations ( 3 ) peuvent être envisagées sous un autre point de vue, et démontrent une propriété géométrique remarquable du mouvement en question. En effet , si l’on considère l’aire conique décrite par le rayon vecteur mené de l’origine au point dont les coordonnées sont x,y, z , elle se projette sur les plans coordonnés suivant les aires décrites par les projections de ce rayon , et dont nous allons calculer les expressions.

Soit 6 l’angle formé avec l’axe des y positifs par la projection r du rayon vecteur sur le plan YZ, et qui tourne de l’axe des y positifs vers l’axe des z positifs, ce qui est le sens direct par rapport à l’axe des x positifs; on aura

tang 0= -, les signes dé toutes les quantités étant pris de

la manière ordinaire.

On tire de cette équation

f/0 yilz — zrly co$’ 0 y’

UEUMbMF. PARTIE.

l>Y5AHlQIIt.

«H comme y — /cos 0, on aura

/-’rffl — ydz — zdy .

Donc ydz — zdy esl le double de la différentielle de l’aire décrite par le rayon /■; elle est de même signe que fl 9, et , par conséquent, positive quand le mouvement est direct, et négative quand il est rétrograde.

Or, si l’axe de l’aire plane infiniment petite, décrite dans l’espace, fait un angle aigu avec l’axe des x, la projection du rayon vecteur sur le plan YZ aura un mouvement direct ; et si l’angle est obtus , ce mouvement sera rétrograde : donc ydz — zdy est égal, en grandeur et en signe, au double de l’aire infiniment petite décrite dans l’espace, multipliée par le cosinus de l’angle formé par l’axe de cette aire avec l’axe des x positifs.

Cela posé, si l’on désigne par X, X', X" les sommes des aires décrites par les projections des rayons vecteurs sur les plans coordonnés, et multipliées chacune par la masse du point correspondant, les équations (3) pourront être mises sous la forme

d’où

dV

dt

dt '

dt

\ — et,

en comptant les aires à partir de t = o.

Ainsi , lorsque les points d’un système libre ne sont soumis qu’à leurs actions mutuelles, ce qui comprend les chocs entre les divers points du système, et, plus généralement, lorsqu’ils sont soumis à des forces qui seraient en équilibre •• sur le système devenu rigide, et lié invariablement à l’origine , ce qui comprend le cas de forces quelconques dirigée» 'vers l’origine ; la somme des projections des aires décrites par les rayons vecteurs de tous les points, multipliées res-

I i(> cours nr. MtcvHUiur.

pcclivcmenl par les masses de ces points, est proportionnelle au temps, pourvu que l’on regarde comme positives les aires décrites d'un mouvement direct, et comme négatives celles qui sont décrites d’un mouvement rétrograde. C’est en cela que consiste le principe de la conservation des aires. On voit qu’il ne diffère que par la forme du principe de la conservation des moments.

62. S’il y avait deux centres d’action , lors même que l’un d’eux serait pris pour origine, les seconds membres des équations (i) ne seraient plus nuis. Mais l’un d’eux disparaîtra si l'on prend pour axe des z la droite qui passe par les deux centres fixes; car on aura