DEUXIEME PARTIE. — DYNAMIQUE

COS p — COS 17 =

de 1 -H c' 1 -+- c’ 1

yc 1 4- c' 1 -f- c"’

La direction de ce plan est donc indépendante du temps, et Laplace, qui l’a reconnu le premier, lui adonné le nom de plan invariable. Les équations (3) montrent qu’on pourra le déterminer si, à un certain instant, ou connaît les masses des différents points du système, leurs positions et les composantes de leurs vitesses. Les actions mutuelles des points, et les chocs qui peuvent survenir entre eux ne changent pas la direction du plan invariable, puisque les seconds membres des équations ne cessent pas d’être nuis. H en est de même s’il y a un centre fixe d’action ou un point fixe, pourvu qu’on le prenne pour origine.

On voit que ce plan n’est autre chose que celui du couple résultant des quantités de mouvement, et toutes les propositions qui ont été établies pour ce dernier s’appliqueront identiquement à l’autre. Nous nous dispenserons de les rappeler, v

04. Application au système du monde. — F.n considérant le soleil, les planètes et leurs satellites comme sollicités seulement par leurs actions mutuelles, le centre de gravité de ce système se meut uniformément en ligne droite avec une vitesse qui dépend de celles qui ont été imprimées à tous ces corps, lorsqu’ils ont été abandonnés à euxmêmes. Comme nous ne connaissons aucun point fixe, si nous voulons prendre une origine des aires qui donue pour le plan du maximum des aires une direction ijiva-

1 1 8 COURS DK MÉCANIQUE.

riablc, il faut choisir un point qui se meuve parallèlement à la droite que décrit le centre de gravité; et comme cette droite n’est pas connue, il faudra choisir le centre de gravité lui-mème. Le plan du couple résultant des quantités de mouvement relatives, ou, en d’autres termes, celui du maximum des aires relatives, pourra sc déterminer à une époque quelconque; et comme il sera toujours le même, si l’on y rapporte tous les points du système, il pourra servir ' • à comparer les observations astronomiques faites aux époques les plus éloignées.

11 est bon de remarquer que ce plan, étant indépendant de la grandeur des actions mutuelles, ne changerait pas, lors même que la loi d’attraction de là matière varierait; il est aussi indépendant des changements qui peuvent survenir dans la figure des corps célestes, parce qu’ils proviendront toujours de forces égales deux à deux et de sens contraire.

Les parties liquides ou gazeuses pourraient se lier invariablement à la partie solide d'une planète; les planètes pourraient se lier entre elles ou se choquer d’une manière quelconque; elles pourraient être brisées par des explosions, sans que ce plan fût dérangé.

11 resterait encore le même si l’on supposait tous les corps du système sollicités par des forces parallèles et proportionnelles aux masses ; car les mouvements rapportés à trois axes menés par le centre de gravité dans des directions constantes ne seraient pas altérés, et, par conséquent, les aires projetées sur ces plans resteraient les mêmes.

65. Équation tics forces vives. — Cette équation s’obtient en considérant un déplacement virtuel particulier, qui n’est pas toujours compatible avec les liaisons du système. C’est celui qui coïnciderait avec le déplacement qui s’opère pendant un temps infiniment petit dans le mouvement réel de ce système.

dkuxiehe partie. — dynamique. i 19

Pour reconnaître quand ce déplacement virtuel est permis, soit L = o une des équations de condition données. Les déplacements virtuels satisferont à l’équation

dL , d L ,

— ix y- — iy dx dy

dL , d L , ,

dz dx

et lors même que L renfermerait la variable t explicitement, on ne la ferait pas varier dans relie équation, puisque les déplacements virtuels se rapportent au même instant.

Si maintenant on désigne par dx , dy, dz , etc., les ae-' froissements infiniment petits que prennent les coordonnées pendant le temps dt dans le mouvement effectif du système, l’équation L = o devant constamment être satisfaite, l’accroissement de son premier membre, après le temps dt , doit être nul, ce qui donne, en supposant, pour plus de généralité, que la variable t y entre explicitement.

. dL , d L J dL J dL , ,

dt +- — - dx ■+■ — dy -+- — dz -f- — — , dx

dx dy dz dx

Or ces deux équations seraient contradictoires si l'on prenait

ix — dx, S y = dy, 3z = dz, . . . ,

. • . >i, dL

et cette supposition ne sera permise que si 1 on a — = o,

quel que soit t. D'où l’on conclut qu’on peut prendre pour déplacement virtuel le déplacement infiniment petit que subissent en même temps les points du système, eu continuant leur mouvement, dans le cas seulement où aucune des équations de condition ne renferme le temps d’une manière explicite.

Supposons donc qu’il en soit ainsi, et, dans ! équalioq

générale

àx=zdx, üyxxdy, Sz — dz,

faisons il vient

2"' (' w f/x+ ~dF dyjh lïF dz ')~ 1 ( x<£r + ydjr + Zdl ' > ■

Or le premier membre est la moitié de la différentielle de

2 / dx l dr * iW\

m \d? + dï + *>) oude 2

v désignant la vitesse du point dont la masse est m \ et l’équation précédente peut s’écrire ainsi :

(ij £ dlmv' 1 = 2 (Xrf-r -(- Yrfr -I- Zrfs).

Elle montre que V accroissement de la demi-somme des forces vives de tous les points dans un inteivalle de temps infiniment petit, est égal à la somme algébrique des quantités de travail des forces données, développées dans ce même inteivalle.

66. Lorsque l’expression £ (Xdx -I- Y dy -+- Z dz) est la différentielle exacte d’une fonction ç de x , y , z, x',y\ z',..., considérées comme variables indépendantes, ou pourra intégrer les deux membres de l’équation précédente, entre deux époques quelconques, et l’on aura

( 2 ) imi’l

Ainsi, dans ce cas, l’accroissement de force vive peut se déterminer dès que l’on connaît les positions de tous les , points , aux deux époques que l’on considère ; et toutes les

. * ■ DEUXIÈME PABTIE. — DYNAMIQUE. 1311

fois que le système repassera par une même position, la somme dès forces vives redeviendra la même.

Si les forces X, Y, Z sont nulles, le second membre de l’équation (a) est nul et la somme des forces vives est constante. C’est eu cela que consiste le principe de la conservation des forces vives.

67. Si tous les points du système sont soumis à l'action seule de la pesanteur, on aura

X = o, Y = o, Z = — gd/n ,

en prenant l’axe des z positifs en sens contraire de la pesanteur. L’équation des forces vives deviendra donc, en désignant par z, le z du centre de gravité du système, et par M sa masse totale :

T ïni^ — j ïmv\ = — g M (*, — *,).

La somme des forces vives ne dépendra donc que de la hauteur du centre de gravité du système 5 et elle redeviendra la même toutes les fois que ce point repassera par le même plan horizontal.

68 . Lorsque ce système passe par une position où il serait en équilibre si scs points n’avaient aucune vitesse, on a alors ... ..

1 m (X ix -H Y S y Z S z) — o

pour tous les déplacements virtuels. Et comme on peut prendre

■ J . 'Sx — tlx , — Sz — dz ,

il s’ensuit

1 (X</z -4- Y rly 4- Z dz) = o,

et, par conséquent, le second membre de l'équation ( 2 ), ayant sa différentielle nulle, sera, en général , maximum ou

1 22 l.ouns l)K MECANIQUE.

minimum relativement à toutes les valeurs par lesquelles il passe suceessivemcnt. Ainsi , la somme des forces vives du système obtient ses valeurs maxima ou minima, lorsque le système passe par des positious où il serait en équilibre si ses points y étaient placés saus vitesse.