Nous allons démontrer maintenant que l'expression

2{Xf£r-t- Xdy 4- Zdz)

est une différentielle exacte quand les forces que l’on y considère sont des actions mutuelles entre les points du système, proportionnelles aux masses de ces points , et dépendant de leurs distances seulement.

En effet, soient a - , y , z, x', y', z' les coordonnées de deux points dont les masses sont m, m' et dont la distance est f. Leur action mutuelle aura pour expression mm! F, F désignant une fonction de y seulement, et les trois composantes de l’action exercée par m' sur m seront, en la supposant attractive ,

mm' F. — — , mm' F. ^ , mm' F. Z — - ,

et les termes provenant de ces composantes dans ï(\dx + Ydy + Zdz)

seront

,„m' V ( ^ — X) dx + (y — y) dy H- (s' — z) de

Les termes provenant des composantes de l’action de m sur m' seront

, \x — x')dx' + Lr — r')dy' -t- (s — z' ) dz'

mm F ! — - y »