DEUXIÈME PARTIE. DYNAMIQUE

et, si on les réunit, on a

f. ( J - ■*') ( fU - ,lx> ) ( r -/) (<fr - **/) -+-(*- «') - d»')

ce qui se réduit à — mm' F df en ayant égard à l’équation

(x-jy+tr-yy+i*- * 7 =/*.

On aurait trouvé -f- mm' F. df dans le cas d’une action répulsive. Ainsi , tous les termes provenant des actions mutuelles des points seront des différentielles exactes, quand ccs actions ne dépendront que de la distance et seront proportionnelles aux masses ; et généralement quand elles seront égales et opposées.

Nous avons ^démontré précédemment qu’il en était de même pour toutes les forces agissant vers des centres fixes proportionnellement à une fonction de la distance seulement.

Mais, le théorème n’aurait plus lieu s’il existait des résistances de milieux ou de frottement: les forces X, Y, Z dépendraient alors soit des composantes de la vitesse, soit de la pression contre les surfaces ou les lignes qui produisent le frottement, et

. ï ( X tlx ■+- Y dj 4- Zils )

ne serait plus une différentielle exacte.

On observera que la différentielle — mm' F df , qui se rapporte aux attractions mutuelles, est négative si df est positif, et positive si df est négatif. Donc les attractions mutuelles donnent un accroissement dans la somme des forces vives quand les points se rapprochent, et une diminution quand ils s’éloignent. De même, si les actions sont répulsives, la somme des forces vives eroitra si les points s éloignent, et décroîtra s’ils se rapprochent.

i >4 cnuàs uk MKCAïugue.

70. La somme des forces vives n'est pas altérée par le choc des points du système entre eux , lorsque les corps qui se choquent repassent après la compression par les mêmes états que pendant quelle s'opérait, et que la force répulsive qu’ils exercent l’un sur l’autre est la même pour les états semblables; car alors on a des actions mutuelles qui

ne dépendent que des distances des points entre lesquels ' . elles ont lieu.

Mais il n’en est plus de même, comme nous allons le voir, quand les corps qui se choquent ne satisfont plus à cette condition, c’est-à-dire quand ils ne sont plus parfai- . tentent élastiques.

71 . Perte de forces vires produite par le choc. — Supposons que les corps qui se choquent soient entièrement dénués d’élasticité, et désignons par a, b , c les composantes

de la vitesse du point quelconque m avant le choc, et par À, * B, C leurs valeurs après le choc qui a lieu entre des parties quelconques du système.

D'après le principe de d’Alcmbert, que nous avons dé- . montré applicable aux forces instantanées (n° 42), il devra y avoir équilibre entre les forces de choc, qui sont deux à deux égales et directement opposées, et celles dont les cornposautes seraient exprimées pour chaque point par

rlx dr dt

— wA — i — m A -—■> — m \ -r y

dt dt dt

ou, d’après les notations précédentes, par

Or, en appliquant le principe des vitesses virtuelles, on obtiendra une équation indépendante des forces inconnues que produit le choc , en prenant pour déplacement virtuel celui qui s’opérera réellement après que le choc sera tei> ‘