DEUXIÈME PARTIE. — DYNAMIQUE

miné. En effet, les corps cesseront d’agir l’un sur l’autre lorsque leur vitesse sera devenue la même dans le sens de la normale commune; donc alors les moments virtuels des deux forces égales et contraires seront égaux et désignés différents; il est donc inutile d’y avoir égard dans la somme totale, cl l’on aura l'équation

'S.m [(a — A) dx -+- ( b — B) dy -f- (c ■ — C) rfs] =r o. Or

dx-=Adt, dy = lidt, dz = Cdi-,

donc

ltn(a\ 4- 6 B -t-cC — A 1 — B : — C’) = o.

Soient

d’où

l’équation précédente devient alors

1m (r’ — V’ — iv 5 ) = 0, ou imv ’ — X m V’ = I mw’ ;

ce qui prouve qu'il y a une perte de force vive égale à la somme des forces vives relatives aux vitesses perdues. Cette .proposition est connue sous le nom de théorème de Carnot.

L’auteur l’a étendu au cas où les corps qui se choquent ont un degré quelconque d’élasticité; mais la difficulté de connaître exactement ce degré en rend l’emploi presque impossible dans l’état actuel de la science. Pour qu’on en put faire usage avec quelque coniiancc , il faudrait faire de nombreuses expériences, dont on ne s’est pas encore occupé.

La perte de forces vives étant £ mw* dans le cas de corps

I 26 COURS m MÉCAX1QUC.

sans élasticité, si l'on considère le système immédiatement avant et après le choc , les points n’ont pas changé sensiblement de position. En désignant donc par x,y, z, x',..., les coordonnées de ces points, au moment où les corps viennent en contact, l’équation (a) deviendra, en ayant égard à la perte instantanée de forces vives,

I 7 * mv ' — 7 ïw! — — ? (■*.* *«,

| — y ï mtv\ • '■

Nous verrons, plus tard, l'usage que l’on fait des équations (2) et ( 3 ) dans le calcul de l'effet des machines.

72 . L'équation (2) prend une forme remarquable quand 011 y introduit les vitesses des points par rapport au centre de gravité du système.

En ellet, soient x, y, z les coordonnées d’un quelconque de ces points par rapport à des axes fixes; £, », Ç celles du même point par rapport au centre de gravité,

011 aura " ' *

X = x, -h 5 , y = y, ■+- n , z = a, -f- ï ; et , par suite,

//x’ tfy] dt] dÇ’ d»> dÇ 1

dt ' dt‘ dt 1 dt’ dt' dt '

( dx, d\ dy , dri di , dÇ\

dt dt dt dt dt dt )

Si l’on désigne par u la vitesse du centre de gravité, par V les vitesses dans le mouvement par rapport au centre de gravité, et que l’on observe que l’on a

dt dr, dç

~ o , ~m - = o, Im -- =0, dt dt dt

ou obtiendra, eu représentant par M la masse totale du