DEUXIEME PARTIE

DYNAMIQUE

système-,

(4 ) • 1 = 1 rn V 3 -f- M i>\

L'équation ( 2 ) donne ainsi

\ I«V , -iï»V; = j (vJ — u») + ? (x, .y, î, x',. . .)

73. O 11 peut encore faire, au sujet du centre de gravité, tme remarque qui est souvent utile. Le mouvement de ce point étant le même que si toute la masse y était réunie et que toutes les forces y fussent transportées parallèlement à elles-mêmes, on obtiendra des propriétés du .mouvement du centre de gravité d’un système, au moyen des propriétés du mouvement d’un point matériel sollicité par des forces données.

En considérant en particulier l’équation relative à la force vive d’un point matériel, et employant les mêmes notations que ci-dessus, on obtiendra

(5) ? M v.’ = rfx, I X -|- rfy, S Y + rfî,lZ,

équation qui peut servir, dans bien des cas, à donner immédiatement l’expression de la vitesse v du centre de gra- - vite. Nous allons en faire usage ici pour démontrer une propriété remarquable du centre de gravité d’un système.

L’équation (i) donne, en y remplaçant Z me’ par sa valeur, tirée de l’équation (4) ,

i rfl m V* -+- \d. M u’ = 2 ( X rfx + Y rfy + Z di).

Or, si l’on désigne par £ , n, Ç les coordonnées par rapport à des axes parallèles «à ceux des x, y , z et passant par le centre de gravité du système, on aura

Aivti O F MKCARlQt'É.

et, par suite,

dx = dx, -4- d \ , dy — dy, 4- dn , dz =? dz , - 4 - dt. ,

et l’équation précédente devient, en vertu de l’équation (5),

irf.ïraV>=î(X(/Ç4-ïrfn4-ZrfÇ),

c’est-à-dire que l’équation des forces vives a lieu par rapport au centre de gravité, comme si c’était un point fixe.

74. Équation des forces vives dans le mouvement relatif. — Considérons maintenant le mouvement du système par rapport à des axes mobiles. Ce mouvement est identique à un certain mouvement absolu que prendrait le système, sous les conditions définies dans le n r> 54, et nous pouvons appliquer à ce dernier ce qui vient d’être démontré pour tout mouvement absolu.

Ainsi d’abord, lorsque les équations de condition ne renfermeront pas explicitement le temps, V accroissement de la demi-somme des forces vives relatives, dans un temps infiniment petit, est égal à la somme des quantités de travail des forces relatives dans le même intervalle.

Rappelons-nous maintenant que les forces relatives se composent des forces données et des forces fictives. Ces dernières consistent d’abord dans les forces d’inertie qui seraient développées par chaque point du système, si ou le liait aux axes mobiles, et ensuite à des forces perpendiculaires aux vitesses relatives, et dont le travail est , par conséquent, nul.

D’où l’on voit que l'équation des forces vives a lieu dans le mouvement relatif pourvu qu'on joigne aux forces données les forces d'inertie de chaque point , supposé lié aux axes mobiles, à l’instant que l’on considère ou, d’après les dénominations employées par M. Coriolis, pouivu