DEUXIÈME PARTIE. — DYNAMIQUE.'- I

y , z ; mais il vaudra mieux, dans le cas actuel, considérer les deux composâmes, tangente et normale : la première est celle qui donne l'accroissement de vitesse, la seconde est la force centripète et se trouve détruite par la résistance de l’axe, puisque chaque point décrit un arc de cercle dont le centre est sur cet axe. On peut donc se borner à considérer la première de ces forces, qui est tangente à l’arc décrit,

et représentée par dm , en désignant par v la vitesse et

par dm la masse de ce point. Si l’on désigne par r la distance de ce point à l’axe, et par 0 l'angle forme par deux plans passant par l’axe, dont l’un soit fixe, et l’autre lié au corps, et mobile avec lui , on aura

d 6 . du d 7 0

v = r — , et, par suite, — =r— — dt ' ■ lit dt 7

La vitesse sera alors considérée comme positive lorsque l'angle 6 croîtra, et la force sera positive quand elle tendra à faire croître cet angle. Or la condition d’équilibre d’un corps solide autour d’un axe fixe consiste eu ce que la somme algébrique des moments des forces par rapport à cet axe soit nulle, en considérant comme positifs les moments des couples qui tendraient, par exemple, à augmenter l'angle ô , et comme négatifs ceux qui tendraient à le diminuer. Si donc on désigne par P l’une quelconque des ' forces données, et par/i sa distance a l'axe, l’équilibre entre

les forces P et les forces

r —jjj conduira à l’équation

2 P p — — - — dm = o ,

dt 7

les sommes se rapportant à tous les points du corps.

Dans le dernier terme de celte équation, le faejeur

peut sortir en dehors du signe S, et ce terme devient tl’ 6

h 'dm.

dt-

L’équation précédente deviendra donc

d' 6 ïP p dt' t r' dm

En général, les moments des forces données varieront avec la position du corps; si ces forces ne dépendent pas du temps, leurs moments seront des fonctions connues de 0, et, en intégrant l’équation (i), on aura 0 en fonction de f et de deux constantes arbitraires. Ces constantes seront déterminées, et, par suite aussi, le mouvement de tous les points du corps, si l’on connaît les valeurs de 0

et ^ relatives à t = o, c’est-à-dire la position et la vitesse

angulaire du corps au commencement du mouvement.

Pour cflcctucr l’intégration de l’équation (i), représentons son second membre par <p (0) , elle devient

~df

multipliant les deux membres par idO y et intégrant à partir de la valeur initiale Ù 0 de 0, on aura

« étant la valeur initiale de la vitesse angulaire; on tirera de là

dt —

MKUXIKMK PAATiK. — DYNAMIQUE. I 30

Si l’on peut -effectuer cette quadrature, on aura t en fonction de 0; et la constante qui s’introduira sera déterminée en exprimant qu'on a à la fois

Si les forces données sont telles, que l’équation des forces vives ail lieu, elle conduira immédiatement à l’équation ( 2 ), parce que la vitesse d’un point situé à la distance r de l’axe

étant r — , la somme 2 aura pour expression

rf6 j de*

Iw 1 -7—, ou -r- Imr 1 .

dt ’ dt 1

Exprimant ensuite le second membre de l'équation des forces vives en fonction de la seule variable 0, ce qui sera

toujours possible, on connaîtra en fonction de 6, et

l’on trouvera ainsi l’équation ( 2 ).

82. Considérons eu particulier le cas d'un corps pesant qui peut se mouvoir autour d'un axe horizontal, que nous prendrons pour axe des y, l’axe des s étant cn sens contraire de la pesanteur. Nous considérerons l’angle 9 comme formé par le plan qui passe par l’axe fixe et le centre de gravité du corps, avec le plan vertical YZ; et nous supposerons que cet angle croisse en allant de l’axe des z positifs vers l’axe des x positifs, c’est-à-dire dans le sens que nous sommes convenus de choisir pour celui du mouvement direct. Le moment relatif à l’élément dm sera gxdm, car il tend à augmenter l’angle 9 quand x est positif, et à le diminuer quand x est négatif; b équation ( 1 ) deviendra donc

„ d* 0 glxdni

dt 1 lr 7 dm

ou, en désignant par x , l'abscisse du centre de gravité du

cours iik mlcami^uk.

corps ,

Or ou a et, par suite,

d' b RI gx, ilt' I r' dm

x, = / sin 0 ,

lit'

W gl

ïr'dm

sin 0.

Cette équation est de même forme que celle qui déterminerait le mouvement d’un point matériel autour de l’origine, dans le plan XZ. Si l’on désigne par R la distance de ce point mobile à l’origine, ou la longueur de ce pendule simple, on obtient pour l'équation de son mouvement,

lit'

f Si " 6 ’

Celte équation se déduirait de la précédente, en supposant toute la masse réunie en un même point situé à une distance R de l'axe. Kilo coïncidera avec la précédente si l’on pose

R ln ' r ' .

si donc on suppose que pour t = o les valeurs de 0 et de

~ soient les mêmes de part et d’autre, c’est-à-dire si le

plan qui passe par le centre de gravité du corps et l’axe fixe fait d’abord le même angle avec la verticale, et a la même vitesse initiale que ce pendule simple, leur mouvement sera constamment le même. Le mouvement d'un corps solide pesant autour d’un axe fixe étant ainsi ramené à celui du pendule, nous nous bornerons à renvoyer à la discussion que nous avons faite de ce dernier.