CHAPITRE XIX
DES MOMENTS D’iNERTIE.
87. La détermination du mouvement d’un corps solide exige, comme nous venons de le voir, la considération de certaines intégrales définies prises dans toute l’étendue de ce corps, et dont il est nécessaire d’étudier avec quelque détail les propriétés.
Mais d’abord il faut remarquer que les corps étant composés de molécules séparées les unes des autres par des intervalles extrêmement petits , il n’y a pas rigoureusement continuité dans la matière qui les forme. Néanmoins, tant qu’on ne considère que l’action des forces extérieures, il n’y a aucun inconvénient à concevoir la matière répartie dans la totalité du volume occupé par un corps, de telle sorte que, dans toute partie très-petite de ce volume-, et pouvant renfermer toutefois un grand nombre de molécules, il y ait la même quantité de masse qu’auparavant. Cette supposition donnera de la facilité au calcul, elles forces extérieures ne variant pas sensiblement d’une molécule à la plus voisine , il n’en résultera aucune diflèrencc appréciable dans les actions exercées sur les différentes parties du corps.
88. On appelle moment d'inertie d’un corps par rapport à une droite, la somme des produits des masses de tous ses éléments par le carré de leur distance à celle droite.
nEUMÈSF. PARTIE. DYXAMIQUK. 1^3
Si ou la prend pour axe des z , le moment d’inertie a pour expression ^
2 ( JC* ■+■ J* ; dm,
dm étant la masse de l'élément dont les coordonnées sont x , y , 2, et l’intégrale s’étendant à toute la masse. De même, les moments d’inertie par rapport aux axes desj' et des x ont pour expressions
S ( j- 5 *’) dm , 2 ( r ! -+- z’ ) dm.
89 . Connaissant le moment d’inertie d’un corps par • rapport aune droite, il est facile de l’avoir par rapporta toute autre droite parallèle.
En effet, prenons la première pour axe des z, et faisons passer le plan des z , x pàr la seconde.
Soient a la distance des deux droites , et M la masse du " 'V corps. Désignons par MA* son moment d’inertie par rapport à l’axe des e. Celui qui se rapporte «à la parallèle aura pour expression
2 [(x — a) 1 -f- ) ï ]tlm xs 2 {x 1 -+■ y' ) dm — 2 al xdm M ri‘ ,
ou, en désignant par x,; 1 abscisse du centre de gravité, M (/’ -4- a’) — 2 a M x,.
90 . Si le centre de gravité se trouvait sur l’axe des 2, on aurait x, = o, et l’expression précédente se réduirait à
on voit qu’elle ne dépend pas de la position absolue de la seconde droite, mais seulement de la distance à la première ; de sorte que le moment d inertie d'un corps est le même par rapport à toutes les génératrices d’un cylindre droit quelconque à base circulaire, dont l'axe passe par le centre de gravité de ce corps. Il s’ensuit que si I on con- 11. 10
sidère les moments d'inertie par rapport à deux parallèles quelconques^ leur différence est égale à la masse du corps, multipliée par la différence des carrés de leurs distances respectives au centre de gravité de ce corps.
On en conclut encore que de toutes les droites parallèles à une direction donnée, celle par rapport à laquelle le moment d’inertie d’un corps est le plus petit, est celle qui passe par le centre de gravité.
91 . Cherchons maintenant l’expression du moment d’inertie d’un corps par rapport à une droite quelconque AS menée par l’origine et faisant les angles a, 6, ■/ avec 'les axes de coordonnées. On en déduira facilement le moment d’inertie par rapport à une parallèle à cette droite, c’esl-à-flire par rapport à une droite quelconque de l’t-Space.
Sôienl x, y, z ( fig . 7) les coordonnées du point M du corps, él dm la masse de l’élément dont ce point fait partie. Abaissant MP perpendiculaire sut; AS, 011 aura
MP’ = AM — AP ’= x 1 4- y' =’
ou
— ( x cos a 4- y cos 6 4-2 cos y) 1 ,
MP = x 1 sin'a 4- y* sin ? 4- s’ sin’y — o.yz cos 6 1-0*7 — 2X2 cos a cos 7 — 2 1 y cos a cos 6.
Si l’on désigne par u le moment d’inertie du corps par rap-' port à AS, ou Z MP rlm, cl qu’on pose
Ix'ilm = a, 2 j 1 dm = b, 1 z'tlm — c, lyzdm = <■/ , Ixulm — r, 2 xytim — f ,
on trouvera
u = a sin a 4- b sin 1 6 4- c sin ’y — a </ros 6 cos 7 — a.c cos a cos 7 — 2 /Vos a cos 6.
UF.IJX1KMK PARTIR. DYNAMIQUE. |^n
a, i, c, </, e, J seront des constantes déterminées par la nature du système donné, et sa position par rapport aux axes. Si maintenant on porte sur AS une longueur
AN = et iju'on fasse la même construction pour toutes les directions que peut prendre AS autour du point A, le lieu des points N sera une surface entièrement fermée, puisque AN a toujours une valeur réelle et finie. Pour en avoir l’équation , ofi désignera .par' Xy-jr, z les coordonnées de N , et l’on aura
cos i = x , cos 6 ss y p , cos 7 = s y/ p ,
l, 'équation précédente qui donne la valeur de p devient, en éliminant a, ë, 7, fi au moyen de ces dernières,
(1) [b -+- c)x ! 4- (a -+-c) /M- (<*•+■ b)z - — irlxz — lexz — 2 fxv — \ .
Le lieu est donc une surface du second degré dont l'origine est le centre, et c’est un ellipsoïde, puisque aucun rayon 11e peut être infini. M. Poinsot le désigne sous le nom ' d'ellipsoïde central.
[.a forme et la position de cet ellipsoïde ne dépendent en rien du choix des axes de coordonnées; mais son équation serait plus simple si l’on avait pris ces derniers dans la direction des axes de l'ellipsoïde, qui forment un système unique, lorsque les grandeurs de ces axes sont inégales, comme cela a lieu eh général.
Admettons donc que l’on ait choisi ce système de coordonnées , les constantes désignées par a, ù, c, d, e , f , prendront des valeurs dépendantes de ce choix, et telles que les rectangles des variables ne se trouvent pas dans
cours i>e MtcASiQur..
l'équation du l'ellipsoïde, et Ton aura par conséquent
ou
ÏYZitm ~ O, S xztlm — o , 1 xy<lm = o .
Donc il existe toujours un système d’axes tels que cos trois intégrales soient nulles, quelle que soit la forme du corps, et lors même que l'on supposerait un nombre quelconque de corps séparés les uns des autres. Ce système, étant celui des axes de l’ellipsoïde, sera unique si ces axes sont inégaux. Si deux d’entre eux sont égaux, l’axe perpendiculaire sera invariable, mais les deux autres seront deux droites rectangulaires quelconques situées dans le plan des deux axes égaux. Enfin, si les trois axes sont égaux, tout système d’axes rectangulaires passant par le même point jouit de la même propriété. On a donné à ces directions particulières le nom d'axes principaux d'inertie du corps.
Si nous désignons par A, lî, C les moments d'inertie du corps par rapport à ses axes principaux, ou, en d’autres termes, ses moments d’inertie principaux, nous aurons
l>+c = A, « 4 -c = B, n-t-6 = C, et l’équation (i) de l’ellipsoïde central devient
Ai’ -+- B r’ -H Cz 1 = i .
92. Le moment d’inertie p par rapport à un axe quelconque passant par l’origine, et faisant les angles a, 6, y avec les axes principaux, s’obtiendra en observant que le
rayon correspondant
de
l'ellipsoïde étant éga
1 à on
aura pour
expression
des
coordonnées x , y , z
de son ex-
t rémi té :
