Si l’on avait seulement

, Ixzelm = o, lyztlni — o,

l’équation de l’ellipsoïde renfermerait le rectangle ay, et aucun des deux autres. L'axe des z serait donc un de ses axes principaux, et, par suite, un des axes principaux d’inertie relatifs à l’origine des coordonnées.

94. Cherchons maintenant s’il existe des points tels, que les trois moments principaux d’inertie qui s’y rapportent , et, par suite, tous les autres, soient égaux. L’ellipsoïde central relatif à oç point se réduira à une sphère, et toutes les droites passant par ce point seront des axes principaux .

l5o COURS OR MKCAHIQUK.

Supposons, pour plus de simplicité, que l'on ait pris pour axes de coordonnées les axes principaux relatifs au centre . de gravité du corps, et désignons par x', y', z' .les coordonnées du point cherché. Si par ce point on conçoit des' parallèles aux trois axes des x, y, s, ces droites devront être des axes principaux relativement à ce point, et, par conséquent, on devra avoir

ï ( z — z') (x — x’) dm — o,

1 (x — .r') (>■ — y' ) dm ~ o ;

or on a , par hypothèse , • .

tyzdm = o, Ixzdni — o, Ixydin = o,

"Lxdm = o, tydm =o, Izdm = o.

Les équations précédentes deviennent donc ! eh désignant par M la niasse totale du système,

M/j'ïso, M/i'=o, My/=o;

ce qui exige rjue deux des trois quantités x 1 , y 1 , z' soient milles. Soient x' = o, y' == o; les moments relatifs aux nouveaux axes seront

Il ne reste plus qu’à exprimer que ces trois valeurs sont égales: ce qui exige que l'on ait

Ainsi, deux des moments principaux relatifs au centre de gravité doivent être égaux, et les points cherchés, s il y en a, seront nécessairement situés sur l’axe corrcspon- . dant au troisième moment. Mais, pour que z' soit réel , il faudra que l'on ait C A ; ainsi, on a rette dernière

DF, U XI KM tt l'ARTIE

DVNAMIQUF-,

condilion, (juc: ce troisième moment soit le plus grand. Quand toutes^ ces conditions seront remplies, on aura deux points qui satisferont à la question; ils seront situés sur 1 axe du plus grand moment, de part et d’autre du centre de gravité, et à une distance de ce point égale à

95. Los axes principaux d’inertie relatifs au centre de gravité d'un corps jouissent de la propriété remarquable d’être des axes principau^ relativement à un quelconque de leurs points, et d’avoir pour conjugués des axes parallèles à ceux qui se rapportent au centre de gravité.

En effet, considérons l’un quelconque des trois, par exemple l’axe des z, cl transportons l’origine en un quelconque de ses points, dont le z soit h \ il suffira de poser

Or on a. par hypothèse,

lyzdm — O, ’S.xzdw — O, Ixydm z= O', d’ailleurs

Xyzdm

donc

et , de même ,

— iyz' dm -f- h ly dm — ïyz' dm ; ïyz' dm = o , ïxz'dm — o.

Donc les parallèles aux trois axes principaux relatifs au centre de gravi lé, menées par un point quelconque de l’un d’eux, sont des axes principaux relativement à ce point.

96. Moment d’inertie d’un parallèlipipède rectangle. — Si, par le centre de ce parallèlipipède, supposé homogène , on mène trois parallèles à ses arêtes , on aura les axes principaux relatifs au centre de gravité. Désignons par a ,

iâ2 locus iik MéCANKjde.

b, c les longueurs des arêtes, et par M la niasse du parallélipipèdc; les moments d'inertie par rapport aux axes qui leur sont respectivement parallèles seront --

Le moment d’inertie par rapport à une droite faisant les angles a, 6, y avec les arêtes a, b, c et située à une distance d du centre du parallélipipède, serait donc

— [(è ! - 4 - c 1 ) cos’ a -t- (a 1 -4- c 1 } cos : 6 -4- (a‘ ■+■ b 1 ) cos *y ] ■+■ Mrf ! .

Si l’on considère successivement les trois arêtes du parallélipipèdc, les moments d’inertie seront

(hK)’

97. Moment d'inertie d’un el/ipsoide. — 11 suffit de. connaître ceux qui se rapportent aux trois axes principaux d’inertie passant par le centre de gravite, et qui seront les axes mêmes de l’ellipsoïde que nous supposons homogène. Soit son équation ,

et cherchons le moment d’inertie par rapport à l'axe des z. La partie dn volupté qui se projette suivant le rectangle dxdy ^est

2 r dx dy

et, par conséquent , si l’on désigne par D la densité de la substance, le moment d’inertie du corps sera

nlUXIEME PARTIS. — UYNAMIgtlS.

que 1 on peut décomposer ainsi :

3 cD / f x '\/ dxAy

+ 2cT) f

Considérons d’abord la première partie, et commençons par intégrer, par rapport à jr, entre les limites

L’intégrale

prise entre ces limites , n’est autre chose tpie l'aire du demicercle qui a pour rayon

sa valeur est donc

Ttb'l x’\