DEUXIÈME PARTIE. — DYNAMIQUE
cl r. Oi\ trouvera ainsi
a f 9 dr.
Jr.
Remplaçant ds * par dr l r* c/0% l’avant-dernière équation devient
dr 3 -f- r'dQ'
2/ Ÿ rfr.
Kliminant dl au moyen de l’équation (i), on obtiendra une équation entre r et 0 qui sera celle de la trajectoire; vient ainsi
2. Lorsque la force ç sera connue en fonction de r, l’équation (3) déterminera la trajectoire.
Lorsqu'au contraire la trajectoire sera connue, et que la force (f sera inconnue, il suffira de dillércntier l'équation (3) par rapport à r, pour connaître f. On trouve ainsi, en effectuant généralement cette différentiation ,
Le second membre se formera en faisant usage de l’équation de la trajectoire; mais il sera quelquefois plus commode d'employer à cet effet la formule (3) , et de n’opérer la différentiation qu’à la fin.
Dans tous les cas, l’équation de la trajectoire étant connue, on en tirera l’une des deux coordonnées en fonction de l'autre, et, par suite, l’équation (i) fera connaître f en fonction de r ou de 0, et réciproquement. Le problème sera donc complètement résolu, puisqu’on aura l’expression des coordonnées du mobile en fonction du temps.
COURS t>F. MKCAXIQCÉ.
3. L’équation (a) prend une forme remarquable quand on y introduit la perpendiculaire p abaissée de l’origine sur la tangente à la trajectoire. En effet, les triangles semblables donnent
ds r
rd 9 p '
OU
ds —
r’dO
d’où l’on tire, en faisant usage de l'équation (i),
ds c
dt p
ce qui donne d'abord cette conséquence remarquable que, dans tout mouvement produit par une force passant par nn point fixe, la vitesse en un point quelconque de la trajectoire est en raison inverse de la distance du point fixe à la tangente.
Substituant cette valeur de v dans l’équation (a), elle devient
C’est l’équation de la trajectoire dans un système particulier de coordonnées.
4. Supposons, en second lieu, que le centre d’action soit mobile. Nous avons démontré, dans la première partie du cours, que toutes les propriétés du mouvement absolu subsistaient pour le mouvement relatif, en substituant partout aux quantités absolues les quantités relatives. Les formules précédentes subsistent donc en considérant x et y comme les coordonnées du point M par rapport à des axes passant constamment par le centre mobile, et se mouvant parallèlement à eux-mêmes ; r comme la longueur de la droite qui joint à chaque instant ce centre au point malé-
TrtOIMKM'E PARTIE. OYIIAM1QUE. 5
riel ; 0 comme l’angle que cette droite fait avec l’axe des x ; et enfin f comme la force accélératrice relative du point matériel , c’est-à-dire comme la résultante de la force accélératrice absolue qui y est appliquée, composée avec une force égale parallèle et de sens contraire à celle qui déterminerait uu mouvement identique à celui du centre mobile.
Nous allons donner quelques exemples des formules qui viennent d’être établies.
D. Pkemieb exemple. — Un point décrivant une ellipse par l'action <T une force dirigée vers son centre, trouver l'expression de celte force.
Il est facile de reconnaître d’abord -que toutes les conditions de la question sont compatibles. Car ou peut toujours obliger un point à se mouvoir sur une courbe quelconque, et de telle manière que les aires décrites par le rayon vecteur mené d'un point fixe quelconque au point mobile soient proportionnelles au temps. On peut donc toujours supposer qu'un poiut mobile décrit une courbe donnée quelconque, par l’action d’une force dont la direction passe par un point fixe quelconque.
Cela posé, soient 2 a, 2 Me grand et le petit axe de celle ellipse. Prenons son centre pour pôle et comptons les angles à partir du grand axe ; l’équation de cette courbe sera
’ sin’i -+- b 7 cos 1 6
sin’ 8,
d’où, en différenliant,
rt.-
sin 6 cos 9.
Si nous exprimons le second membre en fonction de r au moyen de l'équation (a), nous tirerons de l’équation (/>)
coulis DE MÉCANIQUE.
rf. —
en fonction de r; et en le reportant dans la formule générale (3), nous aurons la valeur de J ydr, et, par suite, la valeur de (f en fonction de r.
Or f équation ( a ) donne
sin 1 0 = r— — r— — r» et, par suite, cos- 6 = r— rrr^'
L’équation (b) donne, en substituant ces valeurs,
\ dQ j n‘b 2 r 2
En reportant cette expression dans la formule (3), on trouve
et, en diflérenliaut par rapport à r,
Ainsi, dans ce mouvemeut, la force émanant du centre sera proportionnelle à la distance au centre, et elle sera attractive, puisque la valeur trouvée pour f est positive.
D’après le principe des aires, le point mettra toujours le même temps à parcourir l'ellipse entière, à partir d’une quelconque de ses positions. Désignons ce temps par T. Comme la constaute c représente le double de l’aire décrite par le rayon vecteur dans l’unité de temps, J-cT sera l'aire totale de l’ellipse, et l'on aura
•je T =. if al> x . d’où T
?. r. al)
I1KUX1KHK PARTIR. — HYNASllyUK. J ,
Si l'on veut introduire la durée de la révolution dans l'expression de la force, on obtiendra
- t*’ r V--jT r -
Si . au lieu d'une ellipse, on avait considéré une hyperbole, on aurait trouvé une force répulsive agissant suivant une loi semblable.
15. Réciproquement. — Si un point est attiré vers un centre lise par unç force proportionnelle à la distance, il ’ décrira une ellipse dont ce point fixe sera le centre.
F.n ell'et, concevons une ellipse qui ait pour centre le point fixe, qui passe par la position initiale du mobile et soit tangente à la direction de sa vitesse initiale. Ajoutons enfin, pour déterminer complètement la courbe, celte dernière condition que, dans la position initiale, la force attractive donnée, estimée suivant la normale, ou la force centripète, soit égale au carré de la vitesse initiale qui est donnée, divisé par le rayon de courbure en ce même point.
Ce rayon sera ainsi connu, et l'on aura assez de conditions pour que l'ellipse soit déterminée.
Cela posé, si l'on oblige, d’une manière quelconque, le point partant de son état initial , à se mouvoir sur cette ellipse, de telle sorte que les aires décrites par le rayon vecteur mené du centre, soient proportionnelles au temps, la discussion précédente prouve qu’il sera sollicité par une force dirigée vers le centre, et proportionnelle à la distance. Mais cette force ne sera autre que la proposée. Fin effet , elle est dirigée vers le même point , elle suit la même loi , et elle a la même valeur au point de départ , puisqu’on a déterminé le rayon de coui bure de l’ellipse par cette condition. Celte ellipse sera donc décrite en vertu de la force donnée. Et , par conséquent, une force qui attire un mobile vers un rentre
fixe proportionnellement à la distance à ce point, fait décrire une ellipse dont ce point est le centre.
Ce mouvement présente une particularité qui mérite d’èlrc remarquée.
Nous avons reconnu dans le problème précédent que la force o> se trouvait exprimée par la formule suivante au moyen de la durée T de la révolution entière :
Si l'on désigne par u sa valeur à l’unité de distance, on aura
d 'où
Ce qui montre que la durée de la révolution est indépendante des circonstances initiales qui déterminent l’ellipse particulière^ elle ne varierait qu’avec la constante p qui mesure l’intensité de la force attractive à l’unité de distance.
7. Solution analytique de cette seconde question. — Traitons maintenant par l’analyse cette question réciproque, et proposons-nous de trouver la courbe que décrit un point attiré ou repoussé par un centre fixe proportionnellement à la distance à ce centre.
On a , dans ce cas, <p = fxr, ja étant positif dans le cas de l'attraction , et négatif dans le cas de la répulsion ; l’équation (3) donne, eu représentant par c' une constante arbitraire , qui sera déterminée par l’état initial ,
en posant = z, ±: af/8 =
