CHAPITRE XXL
MOUVEMENT I)'UN CORPS SOLIDE AUTOUR L)’US fOINT
108. Le problème dont nous allons nous occuper maintenant, peut s’énoncer ainsi : Un corps solide, ou un système rigide quelconque, lié à un point fixe, étant sollicité par des forces données, et partant d’un état initial connu, déterminer à chaque instant la position de ses différents points.
l66 , COURS DE MÉCANIQUE.
Pour cela, nous choisirons trois droites rectangulaires passant par le point lixe et liées invariablement au corps ; la question sera ramenée à la détermination du mouvement de ces trois droites; et leur position se déterminera, comme nous l'avons déjà vu dans les préliminaires , soit par les angles que chacune d’elles forme avec trois axes rectangulaires fixes, soit au moyen de trois autres angles seulement, ce qui sera plus avantageux.
D’après le principe de d’Alcmbcrt, on obtiendra toutes les équations nécessaires à la détermination du mouvement, en exprimant qu'il y a équilibre à chaque instant entre les forces données cl les forces d'inertie du système, considérées comme appliquées à ses points même.
Un trouvera ainsi , comme on le sait, six équations, exprimant que les sommes des composantes de toutes ces forces, ainsi que de leurs moments, par rapport à trois axes rectangulaires, sont nullcs. Ces trois axes peuvent être choisis à chaque instant, dans une position arbitraire. Les six équations que nous rappelons, exprimeront toujours l’équilibre qui doit avoir lieu, et seront toujours exactes par conséquent : ainsi, par exemple, il est permis déconsidérer à chaque instant les axes liés au corps, et de prendre les composantes des forces, parallèlement à ces axes, et leurs moments par rapport à ces mêmes axes. Les six équations obtenues ainsi , détermineront certainement le mouvement. C’est la marche que nous suivrons. Elle conduit facilement aux équations; mais comme les quantités qui y entrent dépendent delà position des axes mobiles, il restera à faire des transformations propres à déterminer les positions par rapport à des axes fixes.
1 09. Composantes de In force d’inertie pour un point quelconque. — Ces composantes rapportées à l’unité de masse sont, au signe près, celles delà force accélératrice qui
DEUXICMH PARTIR. — DYNAMIQUE!
produirait sur le point libre le mouvement qu’il a ; ecs dernières sont, comme ou le sait, les dérivées secondes, par rapport au temps, des coordonnées du point, estimées parallèlement à trois directions invariables quelconques. iSous choisirons pour ces directions celles qu’ont les axes mobiles à un instant quelconque , et que nous considérerons comme devenant invariables. Les composantes de la vitesse, par rapport aux axes mobiles, sont
elles deviennent
tltt ,
fis
tv -f- div
après le temps dt, mais ne sont plus estimées parallèlement aux mêmes axes X, , Y, , Z,; elles le sont par rapport aux directions qu'ont les axes mobiles après le temps dt, et que nous désignerons par X', \ ', Z'.
Si donc on les projette toutes les trois sur chacun des axes X, , Y,, Z, , on aura les composantes de la vitesse suivant ces mêmes axes après le temps dl ; et si l’on en retranche respectivement i/, I», iv, puis qu’ou divise les restes par c/f, on aura les trois composantes de la force accélératrice suivant X, , Y, , Z, , que nous désignerons par v' , vv'.
Cela posé, les valeurs de u, v, w étant, d’après le n" 230, tome I er ,
0 ) « = qz, — ry , , v = rx, — pz, , <v = py , — q. r, ,
on obtient, eu les difTércutiant,
tln — z,dq — y, tir, dv = x,dr — 3, tlp , dt» ~ y dp — x,dq. Les quantités
du ,
de,
die
étant connues, et comptées sur les axes X', Y Z', doivent être projetées toutes les trois sur chacun des axes X, y Z| ;
il faut donc d'abord calculer les cosinus des angles des directions X 7 , Y', Z' avec les directions X, , Y, , Z,. Or, les cosinus des angles que fait la direction X, avec les axes fixes X, Y, Z sont
ceux qui se rapportent à la direction X 7 seront, par suite,
a -f- d(i , o! 4 -da ' , ti 4— do' \
On aura des expressions analogues pour les directions Y,, Y 7 et Z,, Z'. Il est donc facile de calculer les cosinus dps angles des trois premières directions avec les trois autres.
On voit d’abord, qu’en négligeant toujours les infiniment petits du second ordre , on peut remplacer les cosinus des angles infiniment petits par l'unité ; d’où résulte
cos X' X, = i , cos Y' Y, = i , cos Z' Z, = i .
On trouvera ensuite
cos Y'Z, =(J+rfJ)c+(6' + db') c' 4- (*" 4- db ") ç“ = cdb H- c'db' -h c" db ",
et de même
cos Y, Z' = bdc 4 - b' de' 4- b" de" ; et comme on a
on en tire
bdc'-Jr b' de' -+- b" de" cdb ■+■ c'db' 4- c"db" = o. D’ailleurs on a (n° 230, tome I er )
cdb 4- cWb' 4- c" db" — pdt ;
donc
cos Y'Z, = — cos Z' Y,. .= pdt .
