DEUXIÈME PARTIE. — DYNAMIQUE. l
On trouverait des résultats semblables pour les autres angles ; ce qui nous donne
cos Y'Z, = — cos Z' Y, = p<U, cos Z'X, = — cos X'Z, = qdt, cos X' Y, = — cos Y' X, = rdt (*).
Rien n’est donc plus facile, maintenant, que de formelles valeurs de u\ v\ w' \ et l’on trouve, toutes réductions faites,
I , dq dr . . ,
« = î, 9 (pjr, — qx,) — r [rx t —
v‘ = X, — z, ~ -+- *,( qz, — rp, ) — p ( py , — <7 X >)>
■ = y ' lit ~ *' ~dt + P( rJe ' ~ P 1 ')— f (?* ~ V<)-
HO. Équations du mouvement. — Si l’on désigne par X,, Y,, Z, les composantes parallèles aux axes mobiles, de la force motrice appliquée à un point quelconque, le principe de d’Alembert fournira les trois équations suivantes .
Z(^i<v' — s,p') dm = £(jr,Z, — z,Y,),
£ ( *, u' — Xi tv r ) dm = £ ( z, X, — x,Z, ) ,
Z(x, d — y,u')(Ùn =z ï(x, Y, — r.X,). -
Les sommes indiquées dans les premiers membres se rapportent à la masse entière, et celles du second, aux forces
(") On voit, par ces formules, que les quantités j>di , </</*, rdt, qui déterminent l’axe instantané de rotation, et les composantes de la vitesse angulaire, ont une autre signitication géométrique remarquable. Elles représentent le» cosinus des angles que font deux à deux les directions des axes liés au corps, avec leur position infiniment voisine. Cette remarque a été faite pour la première fois, je pense, dans la première édition de cette Mécanique.
extérieures qui peuvent être appliquées, tant à tous les points du corps qu’à certains points particuliers eu nombre fini. Ces dernières peuvent être exprimées à chaque instant d’après les éléments qui déterminent la position du corps ; ce sont donc des fonctions connues des angles <p, <J/, 0, et peut-être de t, dans le cas où les forces dépendraient du temps.
Quant aux premiers membres , ils auront une expression extrêmement simple si l’on choisit les axes principaux d’inertie du corps pourles axesX,, Y,, Z,. Alors les sommes 'Ly l s l dm i 'Lz,x l drn , 'Lx i y l dm sont milles; et si l’on désigne par A, B, C les moments d’inertie du corps par rapport aux axes respectifs des x,, y y, z x , et par L , M, IS les fonctions connues, qui sont les expressions des seconds, membres, on aura les trois équations suivantes :
(B — C) ÿr-t- L,
(C — A) rp M,
(A — B )pq -h N.
Ces trois équations , jointes aux équations (3), forment un système de six équations différentielles du premier ordre , qui déterminera les six fonctions p, <7, r, ip, 6 en fonction de t. Les six constantes arbitraires se détermineront par les positions et les vitesses initiales.
Propriétés diverses de ce mouvement dans le cos où d n'existe pas de forces extérieures.
Hl. Application du principe des aires. — Lorsqu un corps solide est en mouvement autour d’un point fixe, les vitesses dont tous ses points sont animés à une époque quel-
«FtlXli ME PARTIE. — DYNAMIQUE. I ■J l'
conque pourraient être produites à ce moment par des forces instantanées, agissant sur le corps en repos dans cette position ; et toutes ccs forces, en vertu du point fixe, seraient réductibles à un couple. Ce couple est identique avec celui qui résulterait des quantités de mouvement qui animent les dilT’érents points du corps. Si l’on décompose l’un et l’autre de ces couples en trois autres dont les axes soient dirigés suivant trois droites rectangulaires fixes, les couples composants seront respectivement les normes.
Or, le principe des aires apprend que , lorsqu’il n’y a pas de forces extérieures, les sommes des moments des quantités de mouvement, par rapport à trois axes fixes, sont constantes, et donnent par conséquent un moment constant dont l’axe a une direction constante. Les forces instantanées qui produiraient à chaque instant sur le corps en repos, dans la position qu’il occupe à cet instant, les vitesses qui ont lieu, sont donc réductibles à un couple qui a toujours même axe et même moment. Cherchons à déterminer cet axe et ce moment.
Considérons pour cela les quantités de mouvement déeomposées à un instant quelconque suivant les axes principaux d’inertie sur lesquels se comptent les x,, y,, z t . Les moments des couples auxquels elles donnent naissance auront pour expressions
-(ji<e — z,p)dm, Z(z,« — x,w)dm, Z(.r, p — jr,u)drn;
substituant les valeurs de «, r, w, données par les équations ( i ) , on trouvera
[ 1 (.r, 2 , <’ ) dm A /> ,
(4) | l(s, u— x,u-)dm = lty,
\ ït.r, v — y,n)tfm = C r.
Ces quantités ne sont pas constantes parce que les axes
des x,y, Zi ne sont pas fixes 5 mais la somme de leurs carrés est constante, puisque le moment résultant est constant : désignant la valeur de ce moment par k , on aura
(5) A 1 /» 1 D’7> + Vr 1 — k'.
Lorsque l’on connaît l’état initial du corps, c’est-à-dire sa position initiale, et les vitesses initiales ou les forces instantanées qui les ont produites , on connaît les valeurs initiales de A p, Bÿ, Cr, et par suite de p , q , r.
Si nous désignons par OK la direction de l’axe du couple résultant des quantités de mouvement, on aura, pour déterminer cette direction par rapport aux axes mobiles,
(6) cos KOX, = cos KO Y, = ^ , cos KOZ,
Cr
et, par rapport aux axes fixes,
/ cosKOX = ^-^ B / ?+( ^>
cos KOY =
cos KOZ
A a" p B l>" < 1 + Ce" r
Les numérateurs de ces expressions seront constants, puisque la direction de OK est fixe.
Les formules (4) prouveraient, si on ne l’avait déjà démontré, que les cosinus des angles que l’axe instantané fait avec X,, Y,, Z, sont respectivement de môme signe que
En effet, les composantes de la rotation instantanée suivant les directions des axes principaux d’inertie du corps, sont les rotations que produiraient les couples composants A p, Bi 7 , Cr; elles sont donc de même signes que ces couples, et par conséquent que p, q , r.
DRCXIKIIE PARTIR. — IIYNAMKJCR. 1^3
112 . Application du principe des forces Vives. — On sait que le principe des forces vives ne cesse pas d’avoir lieu lorsque des points d'un système sont liés à des points fixes;
.et que les forces qui proviennent de ces derniers points n’entrent pour rien dans le résultat. Dans le cas actuel , où les forces extérieures sont nullcs, la somme de ces forces vives sera constante. Désignons par h sa valeur ; ce sera une constante connue, si on donne l’état initial du corps; pour la calculer, remarquons que le carré de la vitesse du point qui a pour coordonnées r,,j,, z ,, est
— 2 <7 rr.a, — lrpi x x { — zpqx t y,.
Multipliant par dm et intégrant dans toute l’étendue de la masse, on aura la somme Ji des forces vives à un instant quelconque; on trouvera ainsi
(8) A /> ! -+- B y 1 -H Cr* = />•
On voit que si aux deux équations ( 5 ), (8) on joignait la condition que la vitesse angulaire \ p' + (]' -\- r' fût constante, on aurait entre p , 17, r trois équations qui les détermineraient si A , R et C sont inégaux; et l’axe de rotation serait fixe. Dans ce cas, les équations ( 3 ) exigent que deux des quantités p, <7, r soient milles, puisque dp, dq, dr, I., M, N sont tous nuis. Le mouvement a donc lieu autour de l’un des axes principaux d’inertie , comme il était facile de le prévoir.
11 3 . ’ Angle de l'axe instantané et de l'axe du couple résultant. — Si l’on désigne par e l’angle de ces deux axes, on trouvera , d’après les valeurs des cosinus des angles qu’ils forment avec X,, Y,, Z,,
A 7> 3 -t- lî q- -t- C r 2
cos » = ~r*7 — -»
ou
Cette équation donne
W COS c =r - y
et démontre cette propriété remarquable , quç la vitesse angulaire instantanée donne une composante constante par rapport à l’axe du couple résultant , qui est celui du maximum des aires , ou du plan invariable .
1 1 4. Position de l'axe instantané par rapport à l 'ellipsoïde central. — L’équation de l’ellipsoïde central étant
AxJ -t- BjJ -+- CaJ ai,'
les cosinus des angles que la ncfrmale au point quelconque x t y, z, fait avec les axes mobiles, sont proportionnels aux quantités Aj,, Bjq, C*i-
Mais les cosinus qui se rapportent à l’axe du couple ré- '• sultant sont proportionnels à A p , 13 <7, Cr. Ces deux droites se confondront donc si l’on a — = — = — * c’est-à-dire
si le rayon de l’ellipsoïde mené au point x t y t z, se confond avec l’axe instantané de rotation -, d’où résulte cette proposition, qui se trouve, ainsi que la précédente, dans le Mémoire de M. Poinsot sur la rotation des corps :
Si l’on mène à V ellipsoïde central un plan tangent parallèle au plan du couple résultant , le rayon mené au point de contact est l’axe instantané de rotation.
115. Vitesse angulaire en fonction du rayon de l'ellipsoïde. — Les coordonnées du pùle de rotation sur l’ellipsoïde central, c’est-à-dire du point où cette surface est percée par Taxe instantané, étant proportionnelles à p 1 q , r, on a les égalités suivantes , dans lesquelles R désigne la I011-
