PX
d’ou. « = R yV/, et I* =
. On déduit de là plusieurs propositions importantes qui sont dues à M. Poinsot.
L’équation w = R y >t fournit d’abord celle-ci :
La vitesse angulaire est proportionnelle à la longueur du rayon de l' ellipsoïde , autour duquel a lieu la rotation instantanée.
L’équation P = prouve que la perpendiculaire abaissée du point fixe sur le plan qui touclie l’ellipsoïde au pôle de rotation, est constante. Or, ce plan est d’ailleurs parallèle au plan fixe du couple résultant; doue il est constant de position. D’où se déduit cette autre proposition :
L’ ellipsoïde central reste constamment tangent au plan mené parallèlement à celui du couple résultant, à une
distance égale à —■ Son point de contact est le pôle de
rotation, et, par conséquent, n’a aucun mouvement de glissement sur le plan fixe. •
Cette propriété donne une représentation géométrique très-nette de la marche suivie pat; le (fffrps.
H6. Courbe des pôles, -r- D’après ce qui vient d’ètre dit, si l’on conçoit un plan qui se meuve en restant tan-
gcnt à l’ellipsoïde central et à une sphère concentrique
ayant pour rayon le lieu de ces points de contact avec
l’ellipsoïde sera la courbe des pôles; elle sera symétrique par rapport à deux des plans principaux, et sera déterminée par rapport aux axes principaux du corps par les deux équations
Ar! + R.rJ + Cz] = «,
A’xî+B’r’-I-C’zî = d’où l’on tire la suivante :
(9) A(A’— AA)x]+B(A’— BA)y-|-|-C:(A’— CA)*; = o,
équation d’un cône du second degré ayant ses axes principaux dans la même direction que ceux de l’ellipsoïde, et qui est le lieu des axes instantanés, relativement au corps. Pour reconnaître le sens de ses deux nappe3, soient A le plus grand moment d’inertie, et C le plus petit. On trouvera facilement
I A 1 — AA = B (B — A) q'-h C(C — A) r%
A* — CA = A (A — C ) />’ -t- B (B — C) q\
Ainsi l’on aura
A* — AA <0 et A’ — CA >0. - On obtiendrait immédiatement ces deux inégalités en observant que ~ est le carré de la distance du centre au plan tangent au point x t jr t z, d?»l’ellipsoïde; d’où il résulte
De sorte que les sections elliptiques du cône seront perpen-
