DEUXIÈME PARTIE. — DYNAMIQUE
diculaires à l'axe des x si l’on a
et elles le seront à l’axe des z si l’on a
Ces deux axes sont ceux du plus petit et du plus grand moment d’inertie du corps.
Si B = C, le cône est de révolution autour de l’axe des x ; si B= A, il l’est autour de l’axe des z •, si A = B = C, p, <7, r sont constants d’après les équations, et le mouvement s’effectue autour d’un axe fixe.
Si A* est égal à une des trois quantités A/t, B/i, C/i, le cône se réduit à un plan; mais si A, B, C ne sont pas tous trois égaux, on a nécessairement
A’ — A/i<^o et A* — CÀ^>o;
donc c’est seulement A' — B h qui peut être nul, et dans ce cas le lieu des axes instantanés a pour équation
x\ C ( A’ — CA) C (B — C)
rj A (AA — A 1 ) ~ A (A — B)‘
C’est l’ensemble de deux plans passant par l’axe y, qui est celui du moyen moment d’inertie; ils coupent l’ellipsoïde suivant deux ellipses qui sont le lieu des pôles , et , par conséquent, jouissent de la propriété que la distance du centre au plan tangent à l’ellipsoïde en un point quelconque de ces ellipses est constante ; cette distance est évidemment la longueur du demi-axe moyen de l’ellipsoïde.
Si A 1 — B/t est positif, le cône entoure l’axe des ar, et l’équation (16) donne
■r? C(A’-CA) C(B-C) .
s! ^ A(AA — A')^ A ( A — B)’
I ^8 COUBS UF. MKCANIQl F.
donc toutes les génératrices situées du coté des z t positifs sont au-dessous des deux ellipses précédentes. Si, au contraire, À’ — B/t est négatif, elles sont au-dessus. De sorte' que ces deux ellipses partagent l’ellipsoïde en quatre fuseaux tels, que quand l’axe instantané se trouve, à une époque quelconque, dans l’intérieur de l’un d’eux, il y reste toujours et se meut autour de l'axe' principal situé dans ce ■ meme fuseau; et s’il se trouve dans un des plans qui les séparent, il y reste constamment.
On remarquera que s’il y a deux axes presque égaux , l’un des fuseaux devient très-étroit, et la courbe des pôles, tout en ayant une grande étendue dans son fuseau , pourrait passer très-près de l’extrémité du petit ou du grand axe; il n’y a donc pas toujours stabilité pour l’axe instantané lorsque dans l’état initial il est très-voisin de l’axe 1 principal du plus petit ou du plus grand moment d’inertie; mais, s’il n’y a pas deux axes presque égaux, et que l’axe instantané soit très-voisin du plus petit ou du plus grand, il s’en éloignera très-peu dans tout le cours du mouvement. • ,
S’il est d’abord voisin de l’axe moyen, la courbe des pôles s’éloignera toujours considérablemnet de l’extrémité de cet axe, et la stabilité n’est plus démontrée. 11 faudrait pour cela que le pôle ne parcourût pas toute la courbe, et cela demande examen.
La courbe des pôles étant tracée et la vitesse initiale de rotation étant connue, ainsi que l’axe instantané autour duquel elle a lieu, on peut se représenter facilement le mouvement indéfini du corps. En effet, après un temps infiniment petit, on saura de quel anglelc corps aura tourné; on saurait donc déterminer le point de la courbe des pôles qui devient le point de contact avec le plan Gxe; on connaîtrait donc le rayon de l’ellipsoïde, et, par suite, la nouvelle valeur de la vitesse de rotation; on trouverait de
UKIJX.Il ME PARTIE. a DYNAMIQUE. * IJQ
même la position et ia vitesse après un autre inter- ' valle de temps infiniment petit, et ainsi de suite indéfini- . meut.
11 est facile de voir comment on pourrait déterminer la courbe formée sur le plan fixe par les positions successives du pôle. Nous n’entrerons dans aucun détail à cet égard.
H 7. Seconde représentation géométrique du mouvement du corps. — L’axe instantané de rotation décrit dans l’espace. une surface conique qui a son centre au point fixe, et pour base la courbe tracée sur le plan fixe par le pôle. Admettons qu’elle soit connue : il est facile de voir qu’elle sera toujours tangente à la surface conique liée au corps et qui est le lieu des positions de l’axe instantané dans le corps. En effet, l’axe instantané sera à chaque instant sur ces deux surfaces; elles ont donc toujours une génératrice commune. Au bout d’un temps infiniment petit, une génératrice infiniment voisine, appartenant au cône mobile, vient coïncider avec une génératrice du cône fixe; et comme dans ce mouvement elle ne se déplace que d’infiniment petits du second ordre, il s’ensuit que si sur les deux cônes on prend, à partir de l’arète commune, deux arêtes correspondantes , distantes de la première de quantités infiniment petites du premier ordre, clics seront distantes l'une de l’autre de quantités du second ordre : d’où il résulte que les deux cônes sont tangents. D’ailleurs le cône mobile ne glisse pas sur l’autre, puisque l’arètc de contact est l’axe instantané de rotation. Donc enfin le mouvement du corps peut être produit au moyen d'un cône du second degré lié invariablement au corps, et qui roule sur un autre cône dont la surface est engendrée par une droite qui tourne indéfiniment en ondulant autour de l’axe du couple résultant.
180 cocas ri F. mécanique.
118 . Lieu des positions successives de l’axe du couple résultant dans l'intérieur du corps. — Si l'on désigne ~* parxi, y,, z , les coordonnées d’un point quelconque de l’axe de ce couple par rapport aux axes mobiles , on aura les équations
f> V /, B q z , Cr 1 z, C r
Les équations ( i a ) et ( i 5 ) conduisent à la suivante
A (A’ — A h)p- + B (*’ — B/i) q'-\r C (/’ — CA) r> = o.
Éliminant-» - entre ces trois équations, on aura l’équation de la surface cherchée, qui sera
C’est un cône du second degré dont les sections perpendiculaires à l’axe du plus petit, ou bien du plus grand moment d’inertie, sont des ellipses.
Si B = C, il est de révolution autour de l’axe des x. Si A = B , il l’est autour de l’axe des z.
Si A = B = C , on a k* = A h ; les équations ( 20) et (21) sont identiques, et l’équation qu’on en avait tirée n’apprend plus rien; mais les deux précédentes deviennent
fi __p Zl — *L
Zy r z, ~ r’
ce qui montre que l’axe du couple résultant et l’axe instantané de rotation se confondent. C’est ce que l’on aurait déduit aussi de la formule qui donne l’angle de ces deux directions. C’est le cas où le mouvement a lieu autour d’un axe invariable.
UKI'XIKMK r\HTlF.. — DYNAMIQUE. l8l
H 9. Formules diverses. — On peut obtenir des relations utiles en identifiant les seconds membres des équations (4) avec les sommes des projections sur x,j, z, des quantités u, v, n>, données par les équations (5). En égalant de part cl d’autre les coefficients de x t , jq, s , , on obtient les neuf équations suivantes :
Ida da' , da"
dt =br ~ Cq ' = b.r-efq, — - — b r c q.
db
db'
( l8 ) \T. — c /' ~ ar > "T. ~ <>P—ar, —=zc"p — ar,
On tire encore de ces équations les trois suivantes :
— = eu — ar, — — — eu — a r de ‘ 1 de r
de , de’ ,
7t =aq-b F , - = aq-bp.
db" » ~dè d£ de
pila -4- i/db -f- rdc — o, pda’ -f- qdb’ -+- rdc’ — o , pda" - 4- qdb" -4- 'rdc" = o.
Calcul du cas particulier oit le corps n'est sollicité par aucune force extérieure.
120. S’il n’existe aucune force extérieure, on a L=o, M=o, N = o, et les équations ( îo) se réduisent à
B J = (C -A)rp,
Si 1 on multiplie la première par p, la seconde par r/, la
troisième par r, et qu'on les ajoute, on obtient
dp dn tir
A p — — h B o H Cr — = o;
r d: ■ tu tlt
d’où, en intégrant,
(20) A/; 1 4- Bÿ 1 ■+■ Cr*=r h,
h désignant une constante arbitraire, qui, d’après ce que nous avons trouvé précédemment, est la somme des forces vives du système.
On aura une autre intégrale en multipliant respectivement les équations (19) par A p, Bq, Cr et les ajoutant. En effet , on trouve d’abord
dp fin „ tir ,
dtf
tir
d’où
(21) AV’+ C'r*— A\
k désignant une nouvelle constante arbitraire, qui est, comme nous l’avons vu, le moment du couple résultant des * quantités de mouvement du système. Ces deux constantes h et A, ainsi que les valeurs initiales de p , q , r, sont faciles à déduire des données initiales. En effet, la direction de l’axe du couple résultant et son moment sont connus, soit que l’on donne les forces instantanées qui produisent les vitesses initiales, soit qu’on donne ces vitesses mômes. - Ainsi d’abord A est connu; ses couples composants par rapport aux axes X,, Y,, Z,, dont la position initiale est donnée, sont donc aussi connus; et comme leurs moments sont respectivement Ap, Bq, Cr, il en résulte que p, q, r . sont connus en grandeur et en signe, au commencement du mouvement. Donc aussi, d’après l’équation (20), la Constante h sera elle-même connue. - •
Si l’on tire des équations (20) et (21) les valeurs de
nWxiiMK PARTIR. — DYXAMIQl/'K, 1 83
p et q en r, et qu’on le6 reporte dans la troisième équation {19), on obtiendra une équation qui douucra t en fonction de r au moyen d’une quadrature. On trouvera d’abord
V— BA + C(K-- : C)r'- A(A— B| ’
— AA -t- C(A — C)r
Quant aux sigues qu’on devra prendre pour p, q, r, ils sont connus, dans l'état initial, d'après la position de l'axe du couple résultant relativement aux axes principaux , qui sont eux-mêmes connus à cet instant. Les cosinus des angles que fait l’axe de ce couple avec les trois directions
étant > —p» -jr’ les valeurs et les signes de p , <7, r sont
connus à cette époque. Les équations (19) donnent les dérivées de p, <7, r en fonction de ces quaulilés ; elles conservent leur signe primitif tant que p, q, r conservent le leur; et, par suite, ces dernières quantités varient toujours dans le même sens tant qu’aucune d’elles ne devient nullcw Si , par exemple, p passe par zéro, la première des équations (19)
donnant la valeur de ~ à cet instant, apprend quel va être
le signe de p immédiatement après, et l’on raisonnera de même toutes les fois qu’une des trois quantités deviendra nulle ; on n’aura donc jamais d'incertitude sur les signes de
Les valeurs de p, q données par les équations (2a), étant reportées dans la troisième équation (19), donnent, en supposant, pour fixer les idées, que l’on doive prendre le même signe pour p et <7,
C y^AB dr
(a3) dt =
y'/’— BA-*-C(B — Cjr^AA — /- A jY>
L’intégrale dn second membre ne peut être obtenue généralement-, elle dépend des fonctions elliptiques. Elle devient intégrable si deux des trois quantités A , R, C sont égales, ou siA-‘ est égal à une des trois suivantes A h, B h, Ch, et nous avons vu que ce ne peut être qu’à la moyenne.
En supposant qu’on ait intégré l’équation ( 23), on aura t en fonction de r, et la constante sera déterminée par la valeur initiale de r-, on en conclura r en fonction de t, ainsi que p et q, d’après les équations ( 22 ).
Il 11 e reste donc plus , pour avoir la solution complète du problème, qu’à connaître les angles <p, d, <p au moyen de p, q, r; et nous avons pour cela les trois équations suivantes, qui se déduisent des formules du n° 228, tome I er :
db . <14,
cos v j — h si 11 0 sin b V- , T <lt 1 dt
. . db . rfi} .
— sm»- + cos 0 sin 6 —
T dt T dt
,d i!< da
cosS— i-*-— îdt dt
On pourra encore faire usage des formules (i3), dont une rentre dans les deux autres.
Mais, pour plus de simplicité, il conviendra de prendre l'axe du couple résultant pour un des axes de coordonnées, par exemple pour axe des 2 .
Les premiers membres des équations (i3) ne sont alors autre chose que a", b", c", et, d’après les valeurs de ces dernières en fonction de <j>, 0, données dans les préliminaires, ces équations deviennent
A u . Tiff O
(25) —■ — sin 6 sin <j , — = sin6cos<p, — = cos 0 .
Ces équations déterminent donc cos 0 et tang <f> en fonction de p, q, r, et par suite de t. Ces lignes trigonométriques
