DEUXIEME PARTIE. DYNAMIQUE. 1 1) I

Mais il faut faire une observation importante. La valeur

limite de q est g lorsque le signe de dq est positif comme

nous l’avons supposé ; cela exigeait que p et r eussent des valeurs initiales de même signe, et alors ces sigues se conservaient parce que p ou r ne peuvent devenir nuis que si q % devient égal à m*, ce qui n’arrivera que pour t = oo . Si , au contraire , p et /• avaient été donnés de signes contraires dans l’état initial, on aurait pris pour la valeur de dq le signe conlrairc.à celui qu’on a pris, ce qui revient à changer p en — p dans le résultat. On trouverait alors — m pour limite de q ; de sorte que l’axe instantané tendra vers l’un ou l’autre des deux sens opposés de l’axe moyen de l’ellipsoïde, suivant que p et r seront donnés de mêmes signes ou de signes contraires dans la position initiale, ou, en d’autres termes, suivant que l’axe instantané, dans sa position initiale, fera, avec les axes des x, et des z, positifs, des angles à la fois aigus ou obtus, ou bien l’un aigu et l'autre obtus.

Du double mouvement d'un corps solide libre.

- 123. Lorsqu’un corps solide se meut dans l’espace, en vertu d’impulsions primitives et de forces continues quelconques, on peut considérer son mouvement, pendant chaque intervalle de temps infiniment petit, comme composé d’un mouvement de translation et d’un mouvement de rotation.

Pour cela, on prendra l’un quelconque des points de ce corps , et à chaque instant on donnera au système un mouvement, par lequel chaque point décrira une droite infiniment petite, égale et parallèle à celle que doit décrire, pendant cet intervalle de temps, le point particulier que l’on considère; puis on supposera ce point immobile, et

igî COURS DF. MKCAMIQUF.

l’on fera tourner le corps, jusqu’à ce que chaque point ait pris la position qu’il devait occuper à la fin de ce meme intervalle.

Le point dont le mouvement règle à chaque instant le mouvement de translation du système, peut être pris arbi- • trairement, pourvu qu'il y soit lié invariablement; mais il y a beaucoup d avantage, comme nous allons le voir, à choisir le centre de gravité du corps.

En effet, nous avons démontré que ce point se meut de la même manière que si toute la masse du corps s’y trouvait réunie et que toutes les forces qui agissent y fussent appliquées. On connaîtra donc immédiatement la direction et la grandeur delà vitesse initiale qu’il prendra en vertu des impulsions données.

Pour achever de connaître le mouvement initial, concevons toutes les forces données réduites à une force appliquée au centre de gravité et un couple. Nous pourrons, comme nous l’avons démontré n" It, déterminer les deux mouvements qui auraient lieu séparément par l’action de cette force, puis du couple; en composant ces deux mouvements pour chaque point , on aura le mouvement résultant de l’action simultanée de toutes les forces.

Or la force résultante appliquée au centre de gravité peut être décomposée en forces égales appliquées à tous les éléments égaux de la masse du corps, et, par conséquent, elle donne une vitesse égale et parallèle à tous les points; il en résulte donc un mouvement commun de translation.

Quant au couple, il ne peut produire aucun déplacement du centre de gravité, puisque ses deux forces transportées à ce. point se détruisent : le mouvement qu’il produit ne sera donc pas altéré en fixant invariablement le centre de gravité. Mais alors on peut introduire la force résultante, qui sera détruite par le point fixe, et l'on aura ainsi le sysr tème de toutes les forces données. D’où l’on voit que le mou-

DKVXIIMI. PARTIE. — OYNAMKJUE. Il)3 ;

veinent île rolalion que nous considérons , peut cire regarde comme produit par les forces d'impulsion , agissant en leurs points d’application respectifs sur le corps dont nous aurons fixé le centre de gravité.

JSous pouvons donc énoncer celle première proposition :

Les vitesses que /froment instantanément les différents " points tl'un corps solide libre, peuvent être considérées comme les résultantes de celles qui se rapporteraient à deux mouvements distincts : l’un de translation, ftroduit par les forces d'impulsion transportées parallèlement à elles-mêmes au centre de gravité; l’autre de rotation , /rroduit par le système même des forces données agissant / sur le corps dont le centre de gravité aurait été invariablement fixé.

•Au moyen de cette proposition, le mouvement initial du corps est entièrement connu, puisque l’on sait déterminer celui d'un corps autour d un point fixe. Quant à ce qu’il deviendra par la suite, nous savons que le centre de gravité se mouvra de la même manière que si toute la masse y était réunie, et que toutes les forces continues y fussent transportées, sans changer de grandeur cl de direction. Mais cCs forces, dépendant, en général , de la position des points, se trouvent, par cela même, dépendantes du mouvement de rotation; de sorte que l'on ne peut calculer séparément le mouvement du centre de gravité du corps, excepté dans le cas particulier où les forces auraient des directions et des intensités constantes, comme par exemple dans le cas de la pesanteur.

Au reste, on peut toujours établir la même proposition relativement aux forces continues, «pie 'relativement aux forces instantanées. En ellèt, considérons le corps à un instant quelconque: on peut supposer qu’il part du repos et «[u’il est sollicité, d’un côté, par des forces instantanées qui donneraient à chaque point la vitesse qu’il a; d’un autre - • ît. i3

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rôle, par les forces continues qui ne peuvent produire que des vitesses infiniment petites dans tin intervalle de temps infiniment petit, et que l’on peut regarder comme des forces instantanées agissant au commencement de chaque intervalle de temps infiniment petit. Or, d’après le principe que nous avons rappelé, on peut déterminer séparément les vitesses produites par ces deux systèmes, et les composer ensuite, l.e premier produira l’effet qui avait réellement lieu a l’instant considéré; le second est identique avec celui que nous avons discuté d’abord, et , par conséquent , il produira une vitesse de translation infiniment petite, due à toutes les forces continues transportées parallèlement à elles-mêmes au centre de gravité, et un mouvement de rotation autour du centre de gravité rendu fixe, produit par toutes ces forces dans leur véritable position.

Ainsi donc, si l'on conçoit par le centre de gravite du corps trois axes rectangulaires qui so meuvent parallèlement à eux-mêmes, leur point de rencontre se mouvra comme si toute la masse du corps y était réunie, et que tontes les forces instantanées ou continues y fussent appliquées ; et le mouvement du corps , par rapport à ces axes, sera le même que si leur point de rencontre était invariablement fixé et que toutes les forces qui sollicitent les différents points dans le mouvement réel fussent appliquées de la même manière à ces mêmes points.

124. Application a l' ellipsoïde pesant. — Supposons qu’un ellipsoïde homogène reçoive une impulsion dont la direction soit comprise dans le plan de deux de ses axes principaux relatifs à son centre de gravité, et soit ensuite abandonné à l’action de la pesanteur. Désignons par /xv la quantité de mouvement qui mesure la force instantanée, par J la distance de cette force au centre, par b et c les deux demi-axes qui sont dans le plan de la force , et par a le troi- . '

OEUX1IMK PARTIE. — DYNAMIQUE. ig5 '

sièmc; enfin par M la masse de l’ellipsoïde, et par \ la vitesse initiale de son centre de gravité.

Le centre de gravité, qui est le centre de l’ellipsoïde, devant se mouvoir comme sija masse M y était concentrée, et fût sollicitée au premier instant par la forcé fte, puis par son poids, ce point prendra d’abord, dans une direction parallèle à celle de l’impulsion, une vitesse dont la valeur sera

et il décrira une parabole tangente à cette direction initiale, et dont l’équation se calculera comme dans le cas d’un point libre. Pour connaître sop mouvement par rapport à trois axes passant par son centre et parallèles à des directions fixes, il faut supposer que le centre soit fixe et que la force- d’impulsion ainsi que la pesanteur agissent sur l'ellipsoïde ainsi assujetti. Mais on peut faire abstraction de la pesanteur, puisque le centre de gravité est fixe, et il suffit de déterminer la rotation produite par l'impulsion. Cette force étant située dans un plan perpendiculaire à une droite, qui est un axe principal relativement au point où elle est èoupée par.ee plan, et de plus ce point étant fixe, il s’ensuit que le mouvement aura lieu indéfiniment autour de Cet axe. La vitesse angulaire W s’obtiendra en divisant le moment (ivf de la force par le moment d’inertie du corps par rapport à l’axe fixe; on aura donc

ou, en introduisant la vitesse initiale V du contre de gravité,

ig 6 corss he atc*siocE. *

Un voit donc que 1 axe de rotation se transporte parallèlement à lui-même, et que le corps tourne uniformément autour de cette droite, que l’on pourra déterminer à chaque instant, puisqu'on connaît le mouvement du centre de gravité qui en est le milieu. On déterminera donc facilement la position de tous les points de l’ellipsoïde à un instant quelconque.

Dans le cas où il serait réduit à une sphère pleine mi creuse, homogène ou seulement formée de couches homogènes , tout diamètre serait un axe principal ; le mouvement de rotation aurait lieu autour de celui qui serait perpendiculaire au plan mené par le centre fil Ja direction de la force d'impulsion , et la direction de cet axe serait constamment parallèle à elle-même.

Le mouvement de rotation de cette sphère ne serait pas altéré si tous les points étaient attirés vers d'autres points par des forces proportionnelles aux masses et à une fonction de la distance, parce que la résultante des actions exercées par Un point quelconque sur la masse entière de la sphère passerait par son centre de gravité. Mais si le corps était tant soit peu dill’érent d’une sphère, il n’enserait plus ainsi, et c'est ce qui arrive par exemple dans le cas de la terre.