POINTS

125. Lorsqu’un système de points est en équilibre,' et qu'on le déplace infiniment peu , d’une manière quelconque, en l’abandonnant ensuite à l'action des mêmes forces, il arrive de deux choses l'une : ou les déplacements successifs de chaque point par rapport à sa position d’équilibre

'BEUXlhMF. FARTIE. — DYNAMIQUE. 1Ç)7

restent toujours très-petits; ou ils peuvent acquérir, au bout d’un certain temps, des valeurs finies. On dit , dans le premier cas, que l’équilibre est stable; et. dans le second , qu’il est instable.

Cela posé, considérons l'équilibre d’uu système de points assujettis à des liaisons quelconques indépendantes du temps , et telles que £ ( X dx -J- Y dy + Z dz ) soit la diflercnticllc exacte d’une fonction y [x,y, z, x',...).

Nous savons que, dans la position d’équilibre, celte fonction sera, en général, maximum ou minimum relativement à toutes les variables indépendantes. Or nous allons démontrer que, quand elle est maximum, l'équilibre j est stable.

Supposons, en ell’el, un système de points en équilibre , sous l’action de forces X, Y, Z, X',..., telles, cpie Pexpjres- sion

:(X</ jk+ Y dy + tdi)

soit la diilérciiticllc totale d’une certaine fonction *■ <f (x, y, z, envonsidéraut les variables x, y, s, x\...

comme indépendantes. F.n vertu du principe des vitesses virtuelles, la dillrrcnticllc de la fonction ÿ sera nulle pour tous les déplacements infiniment petits du système, qui sa- ' tisferont aux liaisons auxquelles il est assujetti. Supposons qu’alors celte fonction çp soit un maximum relativement à toutes les valeurs qu’elle prend dans ces divers déplacements. Désignons par a, />, c, les valeurs de x K y, z ,

x',..., dans la position d’équilibre; déplaçons chacun des points de quantités extrêmement petites, et communiquonsleur des vitesses très-petites; il s’agit de démontrer que le dérangement du système restera toujours très-petit , et que, par conséquent, l’équilibre sera stable.

F.n effet , posons

■ x z= a - r- h, v = b -t- k , z c 4- /, , x‘ = a' -f A', etc..

et désignons par e,, les vitesses très-petites que l’on a communiquées aux différents points; l’équation des forces vives deviendra

h „ , A„ , représentant les déplacements primitifs trèspetits, estimés parallèlement aux axes.

Or, puisque la fonction y (x, y , z, x\...) est maximum, lorsque .r, y, z,... ont les valeurs a , A, c,..., les termes du premier degré en A, À', /,... disparaissent dans le développement de ç (a -f- A , A -I- k, c -f- et les termes

du second ordre, changés de signe, peuvent se mettre sous la forme d’une somme de carrés de quantités dont chaque terme renferme, au premier degré, l'une des quantités /», k, /,..., et qui sont en nombre égal à celui des variables indépendantes. Si l’on désigne ces diverses quaulilés par s, s\ s",. .. y et par R l’ensemble des termes de drgrés supérieurs au second, on aura

Ÿ ( fl 4- , è -4- A , c+ f, ■ • .) *

et , de même ,

L’équation (1) devient donc

■£■ tmv' — -j lmv\ = — (r ! 4- s' 1 -4- s"’ -H . . . )

ou, eu représentant par c la quantité très-petite

iïüwi + aj +/.»'+/.* + ... -R„, , .

TlEVXlLMK PARTIE. — 1»V NAVllyCE. IIR)

Les quantités A , h, l , h',...' ne sont pas toulrs indépen- ■ Jantes, ci l'on pourrait en éliminer un certain nombre au moyen des équations qui expriment les liaisons du système. Celles qui resteraient entreraient au premier degré dans les divers termes des quantités s, s\ s ",... dont le nombre est le même que celui de ces variables indépendantes. H suit de là que si ces dernières ont des valeurs très-petites, il en sera de même de a, s \ s ",..., et réciproquement. Il suffit donc de démontrer que s, s 1 , s",. . resteront constamment très-petites pour qu’il en résulte que les déplacements des points du système restent eux-mèmes très- petits, et que , par conséquent, l'équilibre est stable."

Or, le premier membre de l'équation (a) étant essentiellement positif, il en sera constamment de même du second; et il est- facile d’en conclure que chacune des quantités s’, restera toujours inférieure à c. lin ellet ,

d’après la valeur de c, chacune des quantités s’, est

d’abord moindre que e*, elles varient ensuite d'une manière continue. Supposons qu'il puisse arriver alors que l’une d'elles, par exemple s*, devienne égale à c, et ce scia la plus grande de toutes; elle sera encore très- petite, et il en sera de nlèmc , à plus forte raison, de toutes les autres. Donc h, A, /,... seront aussi très-petits, et la quantité II sera incomparablement moindre que chacune des quantités s*, s' 1 ,.... Donc l’hypothèse s* = c conduirait à ce résultat absurde, que le secoud membre de l’équaliou ) serait négatif. Les quantités s, s', s",... restant doue toujours inférieures à ^c, et, par conséquent, très-petites, il en sera de même des déplacements h , A, /,..., et Y équilibre sera stable.

Lorsque la fonction g (,r, y, z , x 1 ,...) est un minimum, ou ne peut faire des raisonnements analogues pour démontrer l'instabilité de l'équilibre, cl il faut examiner spécialement chaque cas particulier.

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