DES FORCES CONSIDÉRÉES INDÉPENDAHUENT DE LA MESURE DE LEURS EFFETS

§ I . Notions de, la force, fie son intensité, de sa projection sur un axe.

58. Nous considérons les corps comme composés d’éléments plus ou moins rapprochés entre eux, invariables de forme et extrêmement petits, que nous appelons points matériels.

On admet comme fait d’expérience et comme principe fondamental en Mécanique, qu’un point matériel ne peut ni se mettre en mouvement {s'il est actuellement en repos), ni changer actuellement, soit en grandeur, soit en direction, sa vitesse {.s’il en a une), à moins qu'une cause externe n'agisse en même temps sur lui.

Cette propriété s'appelle \inertie de la matière.

La cause externe s’appelle force.

59. Quelques faits peuvent être cités, sinon comme preuves rigoureuses de l’inertie, du moins comme exemples de ses conséquences :

1 ° Des voyageurs en voilure ou en bateau, si le véhicule s'accélère ou se ralentit considérablement, prennent un mouvement relatif résultant de ce qu’ils persévèrent dans le mouvement précédemment acquis ;

1 ° En transportant un liquide dans un vase à large ouverture, si l’on s’arrête ou si l’on précipite tout à coup sa marche, le liquide, par la même raison, s’épanche en avant ou en arrière ;

3" Les ouvriers, pour emmancher leurs outils, font souvent un emploi utile de l’inertie;

4° Ils en tirent encore parti lorsqu'ils chargent une pierre de taille sur la voiture à bras et à deux roues appelée diable.

SECT. I. CIIAP. 11. ^ I.

La voiture est d'abord renversëe en arrière; son plancher touche le sol par sa partie postérieure, et la pierre se pose sur ce plan incliné. 11 s’agit aloi-s de la faire avancer vers le milieu, au-dessus de l’essieu. A cet effet, des hommes agissant à l’extrémité antérieure de la flèche font descendre celle-ci d’un mouvement rapide avec lequel elle vient choquer le sol. Le mouvement de rotation du plancher s'arrête brusquement; mais la pierre, en vertu de l’inertie, continue de s’élever, et fait un petit saut durant lequel les ouvriers placés derrière la poussent en avant. Pendant un temps très-court, le contact de la pierre et du plancher ayant cessé, le frottement n’existe plus; l’action combinée de la pesanteur et de l’effort des hommes fait avancer le bloc sur le plan qui se trouve alors incliné en avant. On répète plusieurs fois la même manœuvre, c’est-àdire, qu’on relève la flèche et qu’on la rabaisse vivement en lui faisant frapper la terre pendant qu’on pousse la pierre jusqu’à ce quelle soit suffisamment avancée.

5° Une pierre lancée par une fronde s’échappe suivant la tangente à la courbe qu’elle décrivait , à l’instant où l’un des fils de la fronde est lâché. Jusque-là, l’action combinée des fils et de la pesanteur déterminait le mouvement circulaire.

60. Le mot inertie en Mécanique ne signifie pas inactivité , car toutes les parties de la matière agissent les unes sur les autres, suivant la loi générale reconnue par Newton. 11 ne signifie pas non plus une résistance absolue à certaines forces, car la moindre force qui agirait seule sur un corps quelconque le mettrait en mouvement, ainsi que nous le montrerons plus loin.

61. D’après ce que nous venons de voir, une force est la cause nécessaire et suffisante pour modifier la grandeur ou la direction de la vitesse d’un point matériel.

L’idée de la force, dans le sens que la Mécanique attribue à ce mot, naît en nous de la sensation que nous éprouvons lorsque nous imprimons un mouvement à un corps, ou lorsque nous modifions le mouvement qu’il a déjà, ou, enfin, lorsque nous empêchons le mouvement qu’il prendrait si nous n’y résistions. D’autres causes que l’action de nos muscles produisant des effets semblables à ceux qui résultent de nos propres

NOTIONS UK LA. FORCK. 37

efforts, nous sommes conduits à attacher à ces causes l’idée que l’expérience nous a donnée de la force.

Une force est donc toujours une chose analogue à la pression que nous exerçons sur les corps pour produire ou modifier leur mouvement.

Pendant que la vitesse d’un point matériel augmente ou diminue, ou bien change de direction, la force nécessaire pour produire cette modification existe ou agit (ces deux mots, exister ou agir, en parlant d’une force, signifient la même chose). Quand la force cesse, la modification de mouvement cesse au même instant, et en vertu de l’inertie le dernier état de la vitesse subsiste. Dès lors, et aussi longtemps que le corps reste abandonné à lui-même, il conserve sa vitesse; mais il ne faut pas dire qu’il conserve sa force: ce serait attribuer au mot force un sens différent de celui que nous venons de définir.

62. Les forces reçoivent , suivant certaines circonstances, diverses dénominations, telles que iraction, attraction , gravitation, poids, tension, pression, propulsion, répulsion, effort; mais dans tous les cas la nature des forces est toujours la même, en ce sens que nous les concevons comme équivalentes à une action ou à une réunion d’actions pareilles à celles que nous exerçons sur les corps que nous touchons.

63. Toutes les forces de la nature sont composées d’éléments, seules forces qui existent réellement ; les autres sont des conceptions de notre esprit qui entrent dans la science sous les noms de sommes ou résultantes , comme on le verra plus tard. Par exemple, la pesanteur s’exerce sur les moindres particules des corps, et le poids d’un corps n’est que la somme des poids de ses molécules ; si votre main presse un corps, vous pouvez concevoir la surface de vos doigts, dans l’étendue du contact, divisée en éléments pour chacun desquels il y a une petite pression exercée , et la force totale que le corps reçoit de votre main se compose de ces pressions élémentaires.

Une force élémentaire actuellement existante s'exerce né-

cessairement sur un point d’un corps : ce point s’appelle le point (V application de la force.

64. Toute force tend à faire mouvoir suivant une certaine ligne droite son point d’application, s’il était isolé et d’abord en repos : la direction de cette ligne droite s’appelle la direction de la force.

65. Plusieurs forces peuvent être conçues simultanément appliquées à un même point, suivant la même droite et dans le même sens : la force unique à laquelle elles équivalent s’appelle leur somme.

66. On conçoit, d’après cela, le rapport de deux forces quelconques au moyen d'une commune mesure exacte ou approchée ; de sorte que l’expression numérique d’une force dépend du choix d’une unité de force et du rapport de la force considérée à cette unité (*).

{*) Les notions qui viennent d’être exposées en ce qui concerne les forces et leurs rapports, n’ont pas toujours été admises sans contestation. D’Alembert avait dit [Traité de Dynamique , discours préliminaire , p. xxii de l'édit, rfe 1758 ) :« Nous n’avons d’idée précise et « distincte du mot force qu’en restreignant ce terme à exprimer un O effet. » Carnot adopta la même opinion , et voici en quels termes ( Principes de l’équilibre et du mouvement, préface , j). xn , édit, de i8o3 ) il combattait l’emploi du mot force pour exprimer une cause : « Quelle idée nette peut présenter à l’esprit en pareille matière le « nom de cause ? Il y a tant d’espèces de causes ! Et que peut-on « entendre dans le langage précis des mathématiques par une force , ■ c’est-à-dire, par une cause double ou triple d’une autre ?... Qu’est- >• ce que le rapport de deux causes différentes? Ces causes sont-elles « la volonté ou la constitution physique de l’homme ou de l’animal n qui, par son action , fait naître le mouvement? Mais qu’est-ce n qu’une volonté double ou triple d’une autre volonté , ou une consn titution physique capable d’un effet double ou triple d’une autre? <• La notion du rapport des forces entre elles, considérées comme n causes, n’est donc pas plus claire quccellc de ces forces elles-mêmes.»

Toute la difficulté ainsi soulevée nous semble se réduire à établir clairement ce que c’est qu’une force égale à une autre , une force double ou triple d’une autre; car quant à savoir cc qu’est une force.

NOTIONS DE L\ FOKCE.

67. On peut étudier la Mécanique rationnelle, sous un point de vue essentiellement théorique, sans fixer le choix d’uue unité de force. Mais si ce choix n’est pas nécessaire, du moins il est utile dès le commencement pour se préparer aux applications industrielles.

L’unité que nous adopterons sera le kilogramme.

Définition. Si un vase est suspendu par un fil tres-Jin et (pt' on jr verse un décimètre cube d’eau à la température deé^p, l’accroissement de la force qu’exerce le fil sur le point auquel il est attaché est d’un kilogramme , lorsque V expérience est faite dans le vide à la latitude de Paris.

Divers instruments , tels que les balances et les ressorts , peuvent servir à constater l’égalité de deux forces, et par suite à trouver le rapport de deux forces inégales.

68. On représente souvent une force par une portion de ligne droite dont l’une des extrémités est le point d’application de la force ; la direction de la droite , à partir de ce point , est celle de la force ; enfin , la longueur de la droite représente l’intensité de la force au moyen d’une échelle convenue.

c’est une notion simple , primitive, acquise par l’expérience, comme nous avons acquis celles de l’espace et du temps.

Or, i” nous concevons nettement que deux forces exercées successivement par deux agents différents sur un corps placé chaque fuis dans des circonstances d’ailleurs identiques, peuvent produire les mêmes effets, les mêmes modifications de mouvement ; ces doux forces sont alors égales, bien que l’une résulte, par exemple, de la volonté et de la constitution physique d'un animal , l’autre de l’élasticité de la vapeur pressant un piston. Sans doute, c’est par leurs effets seulement que nous jugeons de l’égalité de ces deux forces ; mais ce n’est pas une raison pour donner, comme le fait Carnot, le même nom à la cause et à l’effet.

a“ Nous concevons aussi clairement que deux ou trois forces égales soient appliquées simultanément et dans la même direction à un mobile; et dès lors nous avons une idée nette d’une force double ou triple d’une autre.

Voir, pour certaines significations appliquées au mot force, les notes dos n®* 72, 81, 157, 294.

suer. I. CHAH. II. § a.

69. Nous aurons souyent à considérer la projection d'une force sur un axe : il faudra entendre que c’est la force représentée pour la grandeur et la direction, par la projection de la droite représentant la force dans l’espace.

Ainsi, F étant une force représentée {fig. 8) par MN, la droite PQ représente une autre force qui est la projection de F sur l’axe Ox ; et nous désignerons cette force par la notation F;j ( prononcez F, indice x) , en la supposant affectée du signe négatif dans le cas où elle agirait en sens contraire des x positifs.

Lorsque la projection est orthogonale, on a F* = F cos (F, x),

quantité ayant le signe du cosinus, et par conséquent positive ou négative , selon que l'angle de la force avec Ox est aigu ou obtus.

§ 2. üe l’impulsion rCune force.

70. Toute force agissant réellement sur un corps a nécessairement une certaine durée pendant laquelle la force peut d’ailleurs varier d’intensité.

Longtemps les savants ont admis qu’il existait dans la nature deux espèces distinctes de forces , les unes supposées sans durée, et capables de produire dans les corps des changements brusques de vitesse sans les faire passer par les états intermédiaires; les autres agissant sans interruption, d’une manière continue, et ne produisant par conséquent un effet sensible qu’après un temps appréciable. Ils appelaient les premières forces instantanées ou de percussion ; les dernières , forces accélératrices.

Mais une saine physique constatant que toutes les actions sont continues dans la nature , on s’accorde généralement aujourd’hui à ne plus admettre dans la science les forces instantanées , et à ne reconnaître que des forces dont l’action a toujours une certaine durée, quelquefois très^etite, quelquefois indéfiniment prolongée, et dont l’intensité, qui peut

IMHULSION u’üNE FORCE.

être très-grande, est néanmoins toujours comparable à une même unité, telle que le kilogramme défini au n° 67

7 1. Définition. Lorsqu une force F d'intensité constante agira pendant un certain temps t, nous appellerons impulsion due a cette force pendant le temps t, le produit Yt de son intensité par la durée de son action.

Si la force est variable d' intensité , son impulsion pendant un temps déterminé sera, entre les limites de ce temps, l'intégrale yT'dt du produit de la force par la différentielle du temps.

Cette quantité est indépendante de la vitesse du point d’application de la force.

72. Lorsqu’une force F est projetée sur un axe Ox ( 69 ), le produit F^t, si la force F^^ est constante, ou l’intégrale f^Y^dt, si elle est variable, est une quantité positive ou négative, que nous appellerons \' impulsion de la force F projetée sur l'axe Ox pendant le temps t.

L’utilité de cette espèce de quantité ne tardera pas à être aperçue ( n°* i5a et suiv.) I**).

(*) Cette doctrine , qui repousse les forces instantanées, a été professée par M. Poncelet dans ses leçons à l’école de l’artillerie et du génie de Metz dès i8a5 , et par Coriolis dans son Traité du calcul de l’effet des machines, publié en 1829. Elle a été admise par Poisson dans la seconde édition de son Traité de mécanique, en i835.

(*’') Lorsque deux corps sont rapprochés au degré qui constitue le contact physique, leur aetion mutuelle peut être indéfiniment prolongée ou n’avoir qu’une très- courte durée. L’ancienne doctrine distinguait ces deux cas : dans le premier, on disait que ces deux corps agissaient l’un sur l’autre par pression; dans le second, qu’ils agissaient par impulsion. La pression était précisément de la même nature que ce que nous appelons exclusivement une force. Mais ce qu’on appelait tantôt une force ^impulsion, tantôt simplement une impulsion, était en réalité le produit de l’action mutuelle (supposée constante ) des deux corps, multipliée par la durée de cette action. [Mécan. anafyt. de Lagrange, tome I, p. a56; tome II, p. 66. ) La seule innovation que nous nous soyons permise est de supprimer le mot^rcc devant celui A'impulsion, et de donner de cette expression une défi-

§ 3 . Des forces mouvantes ou résistantes et de leur travail.

73. Une autre quantité qui entre dans les théorèmes les plus importants de la Mécanique , et surtout dans la théorie dyna- ^ inique des machines , résulte de la combinaison des forces et des chemins que parcourent leurs points d’application.

Un point étant en mouvement en vertu de causes quelconques , considérons à part l’une des forces qui peuvent être appliquées simultanément à ce point, et l’accompagner dans son déplacement. Soient

F \ intensité de cette force, exprimée en kilogrammes, et considérée comme constante pendant un temps infiniment petit ;

ds le chemin infiniment petit décrit pendant ce temps par le point d’application de la force ;

cos ( F, </#) le cosinus de l'angle de F avec ds , c’est-à-dire, de l’angle que forment la force et le chemin décrit , considéré comme se confondant avec sa tangente dans le sens du mouvement.

Définition. Cela posé, on appelle travail élémentaire de la force F dans l'étendue du chemin ds, le produit infiniment petit

F ds cos (F, ds).

Ce produit de trois facteurs peut aussi être considéré de deux manières différentes, comme le produit d’une force par une longueur infiniment petite :

I® Mis sous la forme F. {^ds cos (F, ), le travail élé-

mentaire de la force F est le produit de cette force par la projection orthogonale ds cos (F, ds) du chemin ds sur la ' direction de la force.

2 ° Sous la forme ds. (F cos (F, ds) ) , le travail élémentaire de la force F est le produit du chemin ds par la projec-

nition qui comprend toutes les forces possibles considérées sous le rapport de leur durée quelconque , et qui s'accorde avec la nouvelle théorie dans laquelle on n’adinct point les forces instantanées.

ÏKAVAIL ÜKS FORCES. 43

tioii orthogonale de la force sur la tangente prolongement de ds dans le sens du mouvement.

Nous résumons cette définition par la formule

d. GF = F cos ( F, ds) , [ 9 ]

dans laquelle la notation GF signifie travail de la force F (*).

74. Définition. En conséquence, le travail d’une force F entre deux positions déterminées quelconques de son point d’application ejf l’intégrale de l’expression précédente ou la somme des travaux élémentaires de cette force entre les deux limites considérées ; c’est ce qu’on exprimera par la formule

GF =jFds cos (F, ds). [lo]

75. Dans les définitions et formules précédentes, la force F et le chemin ds sont des quantités essentiellement positives, tandis que le facteur numérique cos (F, ds) est positif ou négatif, selon que l’angle de F avec ds est plus petit ou plus grand qu’un angle droit.

Le travail positif s’appelle souvent travail moteur., et le travail négatif s’appelle travail résistant.

Les forces dont le travail est moteur, c’est-à-dire dont les directions font des angles aigus avec la direction du mouvement de leurs points d’application, s’appellent forces mouvantes; celles qui font des angles obtus avec cette direction s’appellent forces résistantes.

76. Dans le cas particulier où la force et le chemin élémentaire sont suivant la même droite, le cosinus devient - 1 - i, ou — I, et le travail élémentaire est le produit de la force par le chemin, produit positif ou négatif selon que la force et le chemin sont de même sens ou de sens contraires.

77. Lorsqu’une force, en accompagnant son point d’application dans son mouvement, reste normale à la ligne décrite, le cosinus est zéro, et le travail de cette force est nul.

(*) L.t dénomination très-expressive de travail dune force a été substituée par MM. Coriolis cl Poncelet à l’expression vague de <iuanlité d’action, et à d’autres aussi peu satisfaisantes.

78. Une autre conséquence facile à déduire des définitions précédentes, c’est que si, parmi les causes qui obligent un pointa parcourir une courbe quelconque, il se trouve une force constante en intensité et en direction , de sorte qu’elle accompagne son point d’application en se transportant parallèlement à elle-même, le travail de cette force dans une étendue quelconque du déplacement du mobile, est égal au produit de la force par la projection, sur une parallèle à cette jbrce, de la corde qui joint la position initiale du point d' application a sa position finale; produit positif ou négatif suivant que le dernier point du chemin décrit se projette sur la partie positive ou sur la partie négative de l’axe mené par la position initiale parallèlement à la force et dans le même sens.

79. Enfin, si une force d’intensité constante fait continuellement le même angle avec le chemin élémentaire ds parcouru , le travail est égal au produit du chemin total multiplié par la prajection rectangulaire de la force sur la tangente au chemin ; projection positive ou négative suivant que le sens de la force et celui du chemin forment un angle aigu ou obtus.

80. Dans la pratique, l’unité de travail répond naturellement à une force d’un kilogramme agissant dans l’étendue d’un mètre, la force et le chemin ayant la même direction : cette unité s’appelle kilogrammètre , dénomination proposée par M. Poncelet, et s’indique par la notation

Coriolis a appelé dynamode la quantité de travail exprimée par mille kilogrammètres.

81. Le travail d’une force pour un parcours déterminé de son point d’application est, d’après sa définition, indépendant du temps, c’est-à-dire de la durée de ce parcours. Mais dans la mécanique pratique, on a quelquefois besoin de désigner un travail indéfiniment prolongé et qui conserve des valeurs égales pendant des temps égaux. On pourrait prendre, pour unité de travail indéfiniment prolongé, un kilogrammètre par seconde; mais dans l’industrie on fait souvent usage d'une autre unité : on s’accorde assez généralement, en France, pour admettre comme terme de comparaison un travail continu de

TRAVAIL DKS FORCES.

^5'^" par seconde, que nous appellerons, comme plusieurs auteurs, cheval-vapeur, ou cheval dynamique.

Nous pensons que c’est improprement que cette quantité est quelquefois nommée force de cheval, traduction incorrecte de l’expression anglaise horse power, puissance de cheval. Dans ce cas, le mot puissance a le sens de capacité de travail, et rien ne s’oppose à ce qu’on lui assigne cette signification en Mécanique. Mais il est dangereux, dans le commencement de l’étude de cette science , de confondre l’idée simple de force avec l’idée complexe de travail. Une force s’exprime en kilogrammes; un travail ou une puissance mécanique s’exprime en kilogrammètres.

Nous pourrons donc dire, par exemple, une puissance de huit chevaux , un travail de dix chevaux ; nous éviterons de parler d’une force de huit ou dix chevaux (*).

82. Le travail d’une force, comme toute intégrale déhnie, peut être représenté par l’aire d’une courbe, qui lui sera numériquement égale. Il suffit de prendre pour abscisses les chemins à compter d’un point déterminé, et pour ordonnées les valeurs correspondantes de la force projetée sur la direction

(*) En supposant que, comme ledit Carnot (^Principes de Véijuil. et du mouv., p. 3/i), il se présente deux manières aussi naturelles l'une que f autre <C évaluer l’action qu’ exercent les moteurs animés, l’une qui consiste à voir quel fardeau un homme, par exemple, peut porter, ou quel effort évalué en poids il peut soutenir, tout demeurant en repos; Vautre qui est d’examiner t ouvrage qu’il est en état de faire, dans un temps donné... nous pensons qu’il est necessaire de ne pas confondre dans une même dénomination ces deux manières d’envisager les forces, savoir, leur intensité et leur travail.

D'Aubuisson {Traité d’hydraulique , p. 334) prétend que « dans les arts... on a toujours dit et l’on dira toujours : la force d’un courant d’eau, d’une machine , d’un cheval.» Néanmoins, il joint au mot force l’adjectif dynamique pour exprimer l'idée de travail , et il appelle la force proprement à\Xc, force statique , comme si les forces qui agissent dans l’état d’équilibre étaient d’une autre nature que celles qui s’exercent pendant le mouvement. Nous ne pouvons admettre ce sacrifice de l’exactitude à l’usage.

(lu chemin. L'évaluation numérique de l’aire ou du travail qu’elle représente s’obtient par les méthodes exactes ou approximatives du calcul Intégral. La question suivante donne lieu à l’application de ces méthodes.

Exemple. Travail exercé par un gaz qui se détend. On suppose qu’un piston , qui se meut dans un cylindre, est pressé par un gaz sur une de ses faces (font l’aire est A. Le volume occupé parle gaz à l’instant initial est V„, et équivaut au volume cylindrique AL„ dont la base est A et la longueur L„. A ce même instant la pression totale que le gaz exerce sur le piston est désignée par F„. Pendant le mouvement, le volume du gaz, dont le poids ne varie pas, augmente de l’espace cylindrique décrit par le piston. On admet que la pression du gaz varie en raison inverse de son volume , suivant une loi sur laquelle nous reviendrons quand nous traiterons des gaz. On demande le travail résultant de cette pression depuis l’instant initial jusqu’à celui où le volume du gaz est devenu V = AL.

A un instant intermédiaire quelconque, si l’on désigne son volume par Aa:, la longueur x étant l’espace linéaire entre le piston et une origine prise à une distance L„ en arrière de sa position initiale, le rapport du volume actuel du gaz au volume

initial est — ; la pression supportée par la face considérée du F L

piston est — ^ d’après la loi admise ; et pendant que le piston

s’avance d’une quantité infiniment petite, qui est un accroissement de X représenté par dx., le travail de toutes les forces exercées par le gaz dans la direction du mouvement sur les

éléments de la surface du piston est — ? dx. En intégrant

{Géom. anal., 288), on trouve le travail total, savoir:

T= = 2,3026 F„Lo log. ^ = 2,3026 ^ V„ log.

A défaut de tables de logarithmes, on calculerait l’intégrah; j — par la formule de Th. Simpson {Géom. anal., 3o2).

TRAVAir. DKS FORCKS.

Soit, par exemple, L = 4L„. Si l’on divise l’iiuervalle L — L„ ou 3L„ en 4 parties égales , ses abscisses extrêmes et celles des 3 points intermédiaires seront

valeurs de jr. . .

..=lK

valeurs corres- i

pondantes de x ,

tjo=f-

— .oL„

rj =-5^ i3L„

d’où

Le résultat est 1 , 39 , tandis que l’intégrale exacte 2,3oa6 log 4 est, à moins d'un demi-millième près, i,386*