MOUVEMENT RELATIF J>’UN POINT

38. La diagonale AV partant du point commun A des deux côtés contigus AE, AR, d’un parallélogramme, s’appelle la résultante des deux droites AE, AR,que l’on nomme ses composantes . On peut donc énoncer le théorème précédent en disant que

Lm vitesse absolue est la résultante de la vitesse relative et de la vitesse d’ entrainement I ou que celles-ci sont ses composantes .

On peut encore dire , d’après l’inspection de la figure , que

La vitesse relative AR est la résultante de la vitesse absolue AV, et d'une vitesse Ae égale et opposée à la vitesse d’entndnement AE.

39. Lorsque la vitesse d’entraînement et la vitesse relative sont parallèles , la vitesse absolue est égale à leur somme ou à leur différence, selon qu’ elles sont de même sens ou de sens contraires ; en général, elle est égale à leur somme algébrique, en donnant à chaque vitesse le signe qui convient au sens de sa direction.

40. Exebiple. Un cylindre ayant son mouvement de rotation connu autour de son axe projeté en O l^fig~ 5 ) , on suppose qu’un point mobile pénètre en A dans ce cylindre avec une vitesse absolue représentée en grandeur et en direction par AM, tandis que la vitesse du point A considéré comme appartenant au cylindre est représentée par la tangente AA'. En achevant le parallélogramme A A'MB, on obtient la droite AB représentant la vitesse relative avec laquelle le mobile pénètre au premier instant dans le cylindre ; sa direction est celle qu’il faudrait donner au premier élément d’un tuyau droit ou courbe qui adhérerait au cylindre, et dans lequel on voudrait que le mobile s’introduisît sans choc. Cette théorie est applicable aux roues hydrauliques.

41. Un point ayant une certaine vitesse relativement à des axes mobiles, ceux-ci peuvent avoir eux-mêmes un certain mouvement relativement à d’autres axes également mobiles : c’est ainsi qn’on arrive à considérer une vitesse comme la résultante d’autant de composantes qu’on veut.

Pour le faire comprendre, posons un exemple de trois vitesses composantes. Un boulet est lancé d’un point de la terre

SHCT. 1. CllAP. I. § 5 .

avec une vitesse apparente V' clans une direction quelconque; le point de départ considéré comme lié à la terre possède une vitesse V" due au mouvement de rotation du globe par rapport à l’axe des pôles et à deux autres droites qui passant par cet axe se transportent parallèlement à elles-mêmes; en6n le même point de départ considéré comme lié à ces deux droites et à l’axe terrestre participe à leur mouvement de translation curviligne autour du soleil , mouvement qui a lieu avec une vitesse V'" que nous supposerons absolue en n’ayant pas égard au déplacement du soleil. Il est clair que le point de départ a une vitesse absolue qui est la résultante des vitesses V” et V", représentée par la diagonale AC' ^fig. 6 ) du parallélogramme ABC'G construit sur les droites AB, AC représentant ces vitesses. Cette ré.sultante est la vitesse d’entraînement du point A, et la vitesse absolue du boulet est la résultante AD' de AC' et de V' représentée par AD.

En généralisant ces remarques, et en considérant la fig. 6, on verra facilement que la résultante d'un nombre quelconque de vitesses est représentée pour la grandeur et la direction par la droite AX)' fermant un polygone AMCD' .... qui, partant de la position du mobile, a ses côtés AB, BC', C'D',.. égaux et parall'eles en même sens aux droites AB, AC, AD,., qui représentent les vitesses composantes (*).

42. Imprimer par la pensée à un point matériel une vitesse additionnelle à celle qu’il possède, c’est substituer, par le raisonnement, à la vitesse existante une autre vitesse qui est la résultante de celle-ci et de celle qu’on ajoute. On ne change rien au mouvement relatif d’un point dans un système solide d’axes de comparaison , en imprimant par la pensée des vitesses additionnelles égales, parallèles et de même sens, au mobile

{*) On dit quelquefois qu’un point est animé simultanément de plusieurs vitesses, ou possède à la fois plusieurs mouvements. Ce langage ne peut être entendu dans le sens rigoureux ; car, à un instant donné , un point n’a qu’un certain mouvement absolu. C’est dans la considération des mouvements relatifs qu’on trouve la véritable interprétation de cette manière de parler.

MOUVEMENTS o’uN SYSTÈME SOLIDE. 29

considéré dans son mouvement absolu, et au système des axes mobiles ; car c’est joindre aux composantes AV, Ae de la vitesse relative AR deux autres composantes égales et opposées qui se détruisent.

§ G. Des divers mouvements (Cun système solide.

43. Après avoir traité du mouvement d’un point unique, nous considérons un système de points dont les distances sont invariables, comme ceux des figures de la géométrie; et supposant ce système en mouvement , nous allons examiner les relations auxquelles sont assujetties les vitesses de ses différents points.

Nous ferons usage de cette remarque bien facile à vérifier , que si l’on assigne h trois points quelconques non en ligne droite de ce système solide , un des mouvements qu’ils peuvent prendre , le mouvement de chacun des autres points du système est déterminé comme une conséquence nécessaire.

1 ** Mouvement commun de translation curviligne ou rectiligne.

44. Le mouvement d’un système de points est appelé mouvement commun de translation, lorsque tous ces points possèdent à chaque instant des vitesses égales, parallèles et de même sens, ces vitesses pouvant d’ailleurs varier ensemble, avec le temps, d’intensité et de direction.

Il résulte de cette définition

1 ° Que tous les points du système décrivent des courbes égales (superposables);

a° Qu’ils conservent entre eux leurs distances invariables;

3° Que, dans deux positions successives quelconques du système, les droites égales qui joignent les mêmes points mobiles de ce système sont parallèles.

45. Dans le cas particulier où les vitesses égales conservent une direction constante, le .système a un mouvement commun de translation rectiligne.

46. Il suffit que trois points non en ligne droite d’un système solide aient un mouvement commun de translation pour qu’il en soit de même de tous les autres points (43).

2 ° Mouvement simple de rotation autour d'im axe ûkc.

47. Lorsque trois points non en ligne droite d’un système solide en mouvement conservent invariablement leurs distances à deux points fixes , il en est de même de tous les autres points du système , et l’on dit qu’il tourne autour de l'axe fixe déterminé par les deux points fixes , ou qu’il a un mouvement simple de rotation autour de cet axe.

Dans ce cas, tous les points du système se meuvent dans des plans perpendiculaires à l’axe de rotation ; ils y décrivent en un même temps des arcs d’un même nombre de degrés , et par conséquent proportionnels aux distances de ces points à l’axe fixe.

L’arc décrit pendant un certain temps par un point qui étant lié invariablement au système serait à l’unité de distance ( à un mètre) de l’axe, s’appelle le déplacement angulaire du système dans le temps considéré.

Si O représente cet arc, et’ que r soit la distance d’un point du système à l’axe , l’arc j décrit par ce point dans le même temps est ar. Ainsi

s=ar. [6]

48. Les vitesses des différents points du système sont, par la même raison, proportionnelles aux distances de ces points à l’axe.

La vitesse , à un instant quelconque , d’un point lié au système et situé à une distance de l’axe égale à l’unité , s’appelle la vitesse angulaire du système à cet instant. Son expression

d’après la notation précédente est ^ . Si on la représente

par <i>, la vitesse v d’un point situé à la distance r de l’axe est wr.

Ainsi V =. lar. [y]

49. L’accélération du mouvement du point situé à l’unité de distance de l’axe s’appelle l'accélération angulaire du système. Son expression est L’accélération du point

MOUVEMENTS d’un SYSTÈME SOLIDE. 31

situé à la ilistance r de l'axe est, d’après l’équation [j] ,

ihù . .

r — . Ainsi

dt

dv düi

lü ^ ^ ~di'

3” Mouvement de roulement.

50. Imaginons qu’un système solide soit invariablement attaché à une surface cylindrique, à base quelconque, qui roule sans glisser sur une autre surface cylindrique supposée fixe. Chaque point du système décrit une courbe plane qui se nomme épicycloïde lorsque les deux cylindres sont à bases circulaires, et cycloïde lorsque le cylindre fixe est remplacé ‘par un plan ; dans ce dernier cas , les points situés sur l’axe de figure du cylindre mobile décrivent des lignes droites.

Quelles que soient les bases des cylindres , la relation qui He entre elles les vitesses des différents points du système mobile, à un même instant, est facile à apercevoir.

En effet, remplaçons le cylindre mobile par un prisme inscrit à faces très-étroites. Les courbes décrites dans ce cas par les points du système seront des arcs dont les normales coupent l’arête actuellement située sur le cylindre fixe, et les vitesses ' de ces divers points seront proportionnelles à leurs distances à cette arête. Ces deux propriétés étant indépendantes de la largeur des faces du prisme , subsistent par conséquent à la limite, c’est-à-dire, dans le cas du cylindre. Donc les directions et les rapports des vitesses sont les mêmes que si l'arête de contact des deux cylindres était fixe.

Cette arête, dont la vitesse est nulle à l’instant du contact, s’appelle axe instantané de rotation.

51. Remarques, i” En réalité , l’arête de contact des deux cylindres à l’instant considéré , n’est pas fixe , parce qu’on ne pourrait pas assigner une durée véritable à sa situation sur le cylindre fixe ; mais sa vitesse est nulle , ce qui est différent, comme on l’a vu (i5).

2 ° Les arcs décrits même pendant des temps irès-couris ne sont pas des arcs de cercles, mais des courbes analogues à la cycloïde.

3° Le centre de courbure ( Gèoni. anal., 260) en un point donné de l'une de ces courbes, n’est pas, comme on pourrait le croire, sur l’axe instantané de rotation correspondant.

Pour vérifier ce fait, prenons le cas le plus simple, celui de la cycloïde proprement dite ( Gcom. anal. , i43); supposons donc une surface cylindrique à base circulaire roulant sur un plan fixe , et considérons la courbe que décrit un de ses points. Soient M ce point {fig. 7) , AML la position correspondante du cercle générateur, TL la tangente sur laquelle il roule. ML est la direction de la normale en M (Gc'onz. anal., 219). Pour avoir un autre point M' de la même cycloïde, il suffit de prendre un second point N sur le cercle AML, et de tracer NM' parallèle à 'IL et égale à l’arc MN rectifié. Si l’on fait aus.si LL' = MN, la direction M'L' sera celle de la normale en M'. Cela posé, que l’on prolonge MN jusqu’en T et que l’on mène MPP' parallèle à TL; on |verra que, à mesure que MN diminue, le triangle NMP semblable à NTL approche de devenir isocèle; donc, à la limite, MP = MN— NM' = PP' ; donc MP' approche d’être double de LL'; donc, à la limite , la distance MC de M à l’intersection C des deux normales voisines ML, M'L' est double de ML. Or, cette distance MC est le rayon de courbure , et le point C le centre de courbure de la cycloïde au point M (fiéoni. anal., 260). Ainsi, dans le cas de la cycloïde simple, le rayon de courbure pour un point M est double de la distance de ce point au point de contact situé sur Vaxe instantané de rotation,

5‘i. Les mêmes considérations s’appliqueraient à un système solide invariablement lié aune surface conique roulant sansglisser sur un plan ou sur une autre surface conique fixe qui aurait même sommet. A un instant quelconque du mouvement, l’arête de contact est encore un axe instantané de rotation, c’est-àdire que les directions et les rapports des vitesses sont les mêmes que si cet axe était fixe, tandis que seulement sa vitesse est nulle. Le sommet du cône mobile est seul en repos.

53. Dans les deux cas précédents, les vitesses à un instant quelconque sont toutes parallèles à un même plan perpendi-

MOUVEMENTS d’uN SYSTÈME SOLIDE. 33

culaire à l’axe instantané de rotation, les vitesses des points situés dans un même plan passant par l’axe de rotation , sont perpendiculaires à ce plan.

4** Mouvement de rotation autour d’un point fixe.

54. Supposons que le système soit invariablement attaché à un point qui reste fixe pendant le mouvement du système. Dans ce cas on peut démontrer qu’à un instant quelconque le système a un axe instantané de rotation passant par le point fixe, comme dans l'hypothèse du n° 5a.

Cette proposition étant sans application dans la mécanique industrielle , nous nous bornerons à l’énoncer.

5** Mouvement composé de Iranslalion et de rotation autour d'un axe ou autour d'un point.

55. Imaginons qu’une droite AB étant liée invariablement à un système solide en mouvement, tous les points de cette droite aient un mouvement commun de translation, curviligne ou rectiligne (44)i reste par conséquent parallèle à sa position initiale, tandis que les points du corps situés hors de cette même droite ont un mouvement différent; dans ce cas, on dit que le mouvement du système solide est composé du mouvement de translation de la droite AB et d'un mouvement de rotation autour de cet axe.

Cette expression se rattache aux notions établies au § 5 cidessus, n*" 34 et suiv. En effet , si l’on conçoit le système rapporté à trois axes coordonnés ayant le même mouvement de translation que la droite AB, cette droite sera en repos relatif, c’est-à-dire, en repos apparent pour un observateur entraîné à son insu dans le mouvement commun des axes , et le mouvement apparent ou relatif du premier système lié à la droite AB sera par conséquent un mouvement de rotation autour de cette droite.

56. Le mouvement de la terre offre un exemple remarquable de cette composition de deux mouvements simples. L’axe de notre globe reste sensiblement parallèle à une même direction pendant que le centre décrit en un an une ellipse dont le centre du soleil occupe un des foyers; c’est ce qui s’ap-

SECT. I. CHAF. I. ^ G.

pelle le mouvement annuel de la terre; et le mouvement du globe par rapport à des axes coordonnés entraînés avec le centre, mais parallèlement à leurs premières directions, est un simple mouvement uniforme de rotation autour de la droite passant par les pôles.

La très-grande distance des étoiles à la terre permet de regarder comme parallèles les droites menées .à deux instants quelconques des points de la terre à la même étoile. C’est pourquoi la durée d'une révolution de la terre dans son mouvement relatif de rotation, tel qu’il vient d’être défini, s’appelle un jour sidéral. Elle est invariablement de 86164 secondes, tandis que le jour solaire, dont la durée moyenne est de 86400 secondes, est variable selon la position de l’axe de la terre par rapport au soleil.

57 . Quel que soit le mouvement d’un système solide, si l’on imagine que par l’un de ses points, A, on fasse passer trois axes coordonnés entraînés avec ce point A, mais restant parallèles à leurs directions initiales, le mouvement du système relativement à ces trois axes se réduit à un mouvement de rotation autour du point A , considéré comme fixe ( 54 )- Ainsi , le mouvement le plus général d'iui système solide peut être considéré comme composé du mouvement de translation déterminé par le mouvement absolu de l’un quelconque de ses points , et d'un mouvement relatif de rotation autour de. ce point.

NOTIONS DE t,\ FORCE.