ÉQUATIONS DÉDUITES DU MOUVEMENT DE ROTATION
35 1 . Dans le mouvement de rotation du système autour d’un axe Ou , tous les points, çonservant leurs dis^nces entre eux et à cet axe , décrivent des arcs proportionnels à leurs rayons, et, d’après ce qu'on a vu au n° lai , la somme des travaux virtuels des forces est exprimée par 1^ forinule
de 2^0- F.
Cette somme devant être nulle, quel que soit l’axe Ou , on a, en supprimant le facteur commun dis, l’équation
23Ito.F = o.
Ainsi , dans le cas d’équilibre , la somme algébrique des moments des forces extérieures par rapport à un axe quelconque, se réduit à zéro, c’est-à-dire que
1 ° Un axe quelconque étant choisi , et un sens de rotation
autour (le cet axe étant regardé comme positif, il faut qu'il y ait des forces dont le travail soit positif, quand le mouvement virtuel est dans ce sens, et d’autres dont le travail soit négatif; c’est ce qu’on exprime encore en disant que certaines forces tendent à faire tourner le système dans un sens, et d’autres, dans le sens contraire ;
a° Il faut que la somme absolue des moments des premières forces soit égale à la somme absolue des moments des dernières.
352. Cette règle générale étant étendue aux trois axes Ox, O/, Oz, conduit aux équations
2M„,F = o, 2MorF = o. 2Mo.F = o. [io5]
353. Ces trois équations sont évidemment distinctes de celles du n° 35o, car les moments des forces dépendent de leur situation dans l’espace; et elles sont aussi distinctes entre elles, car si, par exemple, les forces F étaient toutes dans le plan xOy, les deux premières équations seraient satisfaites et la troisième pourrait ne pas l'étre.
Il reste à examiner si, par un mouvement virtuel différent des six mouvements simples qui ont conduit aux équations précédentes , il serait possible d’obtenir une autre condition distincte. Cette question, qui pourrait être résolue par des considérations de géométrie analytique, le sera plus simplement par la théorie des forces équivalentes présentée dans le paragraphe suivant.
§ 4- forces équivalentes appliquées h un corps solide, ou en général à un système dont les mouvements virtueb sont compatibles avec l’hypothèse de la solidité.
354. La somme du travail virtuel des forces extérieures appliquées à un système quelconque, dans tout mouvement compatible avec la solidité de ce système, n’est pas altérée si l’on introduit dans le système ou si l’on en retranche des forces en équilibre , c’est-à-dire, des forces dont les travaux
FOnCES ÉQUIVALENTES. 225
virtuels se détruisent algébriquement dans tout mouvement compatible avec la solidité du système (343). C’est ce qui arrive dans les cas particuliers suivants :
1 ° Lorsqu'on substitue une force à ses composantes agissant sur un même point, ou réciproquement ( 21 5);
2 ° Lorsqu’on introduit ou qu’on supprime deux forces égales et directement opposées, appliquées soit à un même point, soit à des points différents dont la distance est invariable dans les mouvements supposés (iiy);
3° Lorsqu’on transporte une force d’un point à un autre de la droite suivant laquelle elle agit en conservant son intensité et le sens de son action. En effet , transporter la force F de A en B 44) revient à appliquer au point B deux forces F', F" égales à F, puis à supprimer les forces F et F", qui sont dans le second cas.
355. Remarque. Bien que dans la nature les forces soient toujours appliquées à des points matériels, rien n’empêche, lorsque, pour la considération des travaux virtuels, on veut transporter une force d’un point à un autre, de supposer que ce dernier ne soit qu’un point géométrique, dont les distances aux éléments matériels du système restent invariables. N’oublions pas, en effet, que l’existence des travaux virtuels des forces est purement idéale, indépendante des masses des points d’application, et n’est qu’un moyen d’arriver à des relations numériques et géométriques entre les forces extérieures d’un système en équilibre.
356. Dépinitions. Lorsque, par clés modifications quelconques, des forces agissant sur un système de points sont ou peuvent être remplacées par d'autres, sans que le travail virtuel soit altéré, pour quelque mouvement que ce soit compatible avec la solidité du système, on dit que les dernières forces sont ÉQUIVALENTES oux premières , on mieux que les deux systèmes de forces sont équivalents.
Lorsque plusieurs forces peuvent se réduire à une seule équivalente, celle-ci s’appelle leur résultante.
357. Remarque. Quand des forces appliquées à un corps ou système matériel sont en équilibre, l’une quelconque d’en-
SliCT. III. CHAP. II. !{.
tre elles est égale et directement opposée à la résultante de toutes les autres, car la somme algébrique du travail de toutes les forces étant nulle dans un mouvement virtuel quelconque (343), le travail de l’une d’elles est égal et de signe contraire à la somme de travail de toutes les autres , d'où il suit que le travail virtuel de son opposée serait égal à cette somme et de même signe.
Plus généralement , quand des forces appliquées à un corps quelconque sont en équilibre, si on les partage en deux groupes P', P”, P"'^ F', F" F'*'; et qu'ou imagine
«l'autres forces F| , F'/, F,'"' égales et directement opposées aux forces P', P" P'"' de l’im des groupes, du pre-
mier, par exemple; le second groupe F', F",. . . . et le troisième F',, P',', F<"> sont équivalents ; car, d'après l’hy-
pothèse, dans un mouvement virtuel quelconque , le travail
total des forces F', F" sera égal et de signe contraire
à celui des forces P', P", et, par conséquent , égal à
celui des forces F', F',' avec le même signe.
Il est aisé de voir que la réciproque de cette proposition est également vraie, c’est-à-dire que lorsque deux systèmes de forces sont équivalents, les forces de chaque système feraient équilibre à celles de l’autre , si celles-ci étaient prises en sens contraire.
