Théorème, blutant de forces F', F", F'" F

çu’on voudra, peuvent se réduire d'une infinité de manières à deux forces équivalentes dont [ une au moins passe par un point donné O , et dont l’autre est dans un plan déterminé par le choix d’ailleurs arbitraire du point O.

Démonstration. 1 ° Considérons les deux plans passant l’un parla force F et le point donné O, l’autre par la force F" et le même point ; ils se coupent suivant une droite OK" {fig. 45).

La force F' appliquée au point M' peut être remplacée (354) par deux composantes P, Q', situées dans le plan M'OK", et passant l’une par O, l’autre par un point K'' choisi arbitrairement sm X'mtersecûon OK" ( 207 ); de même F" appliquée au point M" et située dans un même plan avec OK", peut être remplacée par deux forces P" et Q" passant l’une par O et l’autre par K". Aux forces P' et P", transportées en O, on substitue leur résultante S"; aux forces Q', Q", transportées en K", on substitue leur résultante T". On a ainsi autant de forces qu’auparavant; mais l’une S" passe par le point donné O; il n’en reste que n — i, savoir, T", F'", F”, , qui peuvent n’j point passer.

Faisant pour T" et F"' ce qu’on a fait pour F’ et F", on les remplacera par deux forces, dont l’une, passant par O, se composera avec S", et donnera une force unique appliquée à ce point, de sorte que le nombre des forces ne passant pas par O sera encore diminué d’une unité. Ainsi de suite, on réduira toutes les forces à deux , S, T, dont la première au moins passera par le point O; et ces deux forces S, T, seront équivalentes aux forces F', F", F'" F'"^, c’est-à-dire

que dans un mouvement virtuel quelconque, compatible avec la solidité du système des points d’application primitifs et nouveaux , le travail total des forces S et T sera égal à celui des forces primitives.

sicr. III. t;n vp. II. *i

Deux équivalentes, S et T, étant ainsi trouvées, si l’on eonsidère le plan passant par le point O et par la force T, on peut remplacer cette dernière force par deux autres, dont l'une, passant en O, se compose avec S, et l’autre passe par un point choisi arbitrairement dans ce plan : ce qui prouve qu’il y a une infinité de manières de satisfaire à la première partie de l’énoncé.

a° Soient deux forces S', T' formant un groupe équivalent à celui des deux forces S, T ; il s’agit de faire voir que si les deux forces S et S' passent par nn point O, les deux autres T et T' sont dans un plan passant par le même point O. Pour le démontrer, concevons que dans le plan déterminé par le point O et par la force T, on mène deux axes Or, O/. Les sommes de moments des deux groupes équivalents , par rapport à ces axes, doivent être égales (358). Or, les moments des forces S, T, S' sont nuis (laa). Donc, il en est de même du moment de T'; cette dernière force est donc (laa) dans un même plan avec chacun des deux axes Or , 0/ ; elle est donc dans le plan déterminé par le point O et la force T : ce qui démontre la seconde partie de la proposition.

Remarque. Les deux secondes équivalentes T, T', ont une propriété qui mérite d’être signalée : si l’on considère un axe O.Z, perpendiculaire au plan rO/ qui les contient, leurs moments , par rapport à cet axe , sont égaux et de même sens (358) , attendu que les moments de S et de S' sont en* core nuis. En d’autres termes , les produits des forces T, T', par leurs distances respectives au point O sont égaux, et ces forces tendraient à faire tourner dans le même sens autour de l’axe Oz un corps solide lié à cet axe.

§ a. Des six équations suffisantes pour l’équilibre (fiin système solide.

361. On doit avoir bien compris (34 1 ) que les conditions complètes de l’équilibre d’un corps ou système matériel , plus ou moins flexible, dépendent de sa constitution physique ; mais que dans tous les cas, les forces extérieures doivent salis-

SIX liyUATIOKS u’jîyUlLIBUK. ‘ÜO

^ tuire à certaines relations indépendantes de cette constitution , et toutes contenues implicitement dans la formule (io3) du travail virtuel (343). Cette formule, disons-nous, renferme toutes les conditions d'équilibre indépendantes de la constitution intérieure du système, puisque, dans l’hypothèse de la parfaite solidité, il suffit pour l’équilibre que les forces satisfassent aux conditions qui se déduisent de cette même formule (344)-

Nous allons voir maintenant que toutes ces conditions se réduisent aux six équations distinctes que nous avons obtenues aux n”* 35o et 35a.

362. Par un point O, concevons qu’on mène trois axes Ox, O/, Oz qui ne soient pas dans un même plan , mais faisant d’ailleurs des angles quelconques. Nous venons de démontrer (36o) que, quelles que soient les forces F', F", F"'..... appliquées à un système de figure invariable pendant les mouvements virtuels qu’on lui attribue, elles équivalent quant au travail à deux forces, dont l'une S passe par le point O, et l’autre T peut n’y pas passer.

Cela posé, si les forces F', B’'', satisfont aux équa-

tions

nous en conclurons que leur résultante de translation est nulle (35o); qu’il en est, par conséquent, de même de la résultante de translation des deux forces S et T (359), c’est-àdire que ces deux dernières forces sont égales, parallèles et dirigées en sens opposés.

Deux pareilles forces, lorsqu’elles ne coïncident pas sur une même droite, forment ce que M. Poinsot a appelé un couple.

Ainsi , lorsque les sommes des projections des Jorces sur trois axes sont séparément nulles , ces forces peuvent se réduire a are couple équivalent.