Si les forces satisfont à la fois aux six équations

2Fx=o, 2Fr=0) 2F. = O, [io4]

2^o,F = o, 2^>1^orF = o, ^31bo,F=:io, [to5]

il résulte de ce qui précède, que les deux équivalentes S et T sont égales et directement opposées, et par conséquent se réduisent à zéro.

Donc ces six équations suffisent pour affirmer (356) que dans tous les mouvements virtuels compatibles avec la solitîité du système le travail des forces F est nul, et que, par conséquent, le système matériel, s’il est solide et en repos, persévère dans cet état; ce qu’on exprime en disant qu’t/ es/ e/i équilibre sous t action des forces.

Donc les conditions nécessaires et suffisantes pour l'équilibre

SIX ÉQUATIOWS ü’tQülVALENCi:. 231

d’un corps solide sont au nombre de six, dont trois consistent en ce que les sommes algébriques des projections des forces extérieures sur trois axes non parallèles à un même plan, soient nulles pour chacun de ces axes; et les trois autres conditions consistent en ce que les sommes algébriques des moments des forces extérieures, par rapport à trois axes concourants et non situés dans un même plan, soient nulles pour chacun de ces trois axes.

On remarquera, ou l’on vérifiera sans difficulté en relisant attentivement les raisonnements sur lesquels sont fondées les six équations [io4] et [io5], qu’il n’est pas nécessaire que les trois axes de projection des x, des y et des z, auxquels se rapportent les trois premières [io4], soient les mêmes que les axes de moments, Ox, Oy et Oz, auxquels se rapportent les trois dernières équations [io5],

§ 6. Des sic conditions d’équivalence de deux sjslètnes

de forces.

365. Pour qu’un groupe de forces F', F', F"',. . . soit équivalent à un autre groupe de forces FJ, F',', F’,'. . il faut et il suffit ( 357 ) que, si l’on imagine les forces P', P", P"'. . . égales et directement opposées à celles du second groupe, les forces réunies du premier et du troisième groupe satisfassent aux conditions générales de l’équilibre ; donc on a

2Jn^o.F + 23n-o.P = o.

Mais, d’après l’hypothèse, les projections et les moments des forces P sont égaux et de signes contraires aux projections et aux moments des forces F ; donc les six équations précédentes reviennent à celles-ci :

V3Ko,f=2^o.f., 2^VF==23V.> 2^o.f=2^o.f..

Ainsi , pour que deux systèmes de forces soient équivalents , il faut et il suffit que les sommes de leurs projections sur trois

axes non parallèles a un même plan et les sommes de leurs moments par rapport a trois axes conjugués, soient respectivement égales pour chaque axe dans l’un et l’autre système.

366. En appliquant ce tliéorèine general au cas particulier où les forces F ont une résultante, c’est-à-dire une seule équivalente R, on a les^six équations

0 R 0 .R = 2an-o,F , 3n.o,R = 2^o.F , an.o.R = piï-o.F.

Ainsi, pour qu’un système de forces ait une résultante, il faut et il suffit qu’il existe une force dont les projections sur trois axes non parallèles à un même plan et les moments par rapport à trois axes conjugués soient de mêmes valeurs et de mêmes signes que les sommes des projections et des moments des forces du système relativement aux mêmes axes.

§ 7 . Expression analytique des six équations d équilibre, et des six équations iV équivalence , en fonctions des composantes des forces parallèles à trois axes , et des coordonnées des points d application de ces forces (*).

367. Equations d’éqcilibhe. Soient x, y, z, les coordonnées rectangulaires d’un point M pris sur la direction de la force F. Décomposons cette force en trois autres appliquées au point M et parallèles aux axes rectangulaires Ox, Oy, Oz. Soient ces forces représentées pour l’intensité et le sens par les quantités X, Y, Z, positives ou négatives, c’est-à-dire que l’on a

X = F cos(F,a-), Y F cos(F^), Z = F cos(F,z).

Si l’on fait la même chose pour toutes les forces d’un système en équilibre, les équations [io4] du n" 364 seront remplacées par

^X = O , ^Y = O , ^Z = o. [io6]

(*) Ou peut, dans une première étude, se dispenser de lire ce paragraphe, et passer immédiatement au ii’’ 372,

KXPHESSION ANALYTIQUE DES ÉQUATIONS u’ÉQU II.IBRK. 233

Le moment de la force F, par rapport à l’axe des x, est égal à la somme des moments de ses composantes Y, Z (358), attendu que le moment de la force X, par rapport à cet axe, est nul , puisqu’elle lui est parallèle.

Or, en supposant, i”que le mouvement virtuel de rotation soit tel que l’axe 0/ tende à se rapprocher de la position de J a° que les quantités Y, Z, j, a soient positives, on voit aisément (fig. 46) qu’on a

01 Vo,Z = Zj et .‘Jlto^Y = —Yz , et , par conséquent ,

=Zj — Y;a;

et en faisant toutes les hypothèses possibles sur les signes des composantes Z, Y, et des coordonnées z, y, on reconnaît que cette formule est générale. Il s’ensuit que si l'on fait pour toutes les forces du système ce que nous venons de faire pour la force quelconque F, on aura

25IVo.F = 2(Zj-Y^).

Pour avoir les expressions analogues des sommes des moments par rapport aux axes 0/ et Oz, on remplacera d'abord dans cette formule x par y, y par z, z par x , Z par X, \ par Z, c’est-à-dire chaque lettre par la suivante, dans l’ordre x, y, z, x, puis on fera une seconde mutation semblable. Ainsi les trois équations des moments nécessaires pour l’équilibre se trouveront traduites comme il suit:

au lieu de XOTIq^F = o , j

au lieu de = o >

au lieu de = o , ®

368. Dans le numéro précédent, les axes Ox, O;^, Oz sont supposés rectangulaires. 11 est digne de remarque que si les coordonnées x, y, z des points d’application des forces sont relatives à trois axes obliques quelconques, et si les composantes X, Y, Z sont parallèles à ces axes, les six équations précédentes [106] et [107] sont encore nécessaires et suffisantes pour l’équilibre d’un système solide.

D'abord les trois premières expriinenl (jue la résultante de

SECT. 111. CIIAP. II. § 7 .

translation est nulle (35o). Dans les deux systèmes d'axes, les sommes VX, ^Y, '^Z sont les trois côtes contigus d’un parnllélipipède dont la résultante est la diagonale. Pour que celle-ci soit nulle, il faut et il suffit que les trois côtés le soient.

Cherchons maintenant ce que deviennent les équations des moments dans le cas d'axes obliques. Soient Oa;, , Oy , , Oz, ces trois axes. Imaginons, en outre, trois axes Ox, O/, Os rectangulaires, dont l'un Oj: se confonde avec Ox , . En appelant, comme tout à l’heure, x,jr, z les coordonnées du point M, pris sur la direction de la force F, dans le système des derniers axes, et X, Y, Z les composantes ou projections rectangulaires de la force F, on a, comme on vient de le voir, le moment de celte force, par rapport à l'axe Ox ou Ox, , exprimé par Zy — Yz.

Maintenant, par une proposition connue de la théorie des projections {Géom. anal., 48 ), si l’on désigne par x,, y,, z, les coordonnées du même point M dans le système des axes obliques Ox, , O/,, Oz,, et par X,, Y,, Z,, les composantes ou projections obliques conjuguées de la force F sur les mêmes axes , on a

y = x, cos{xj) - 4 - y, cos(y,y) -+- z, cos(z, j) ,

Z = X, cos(x,z) -4- y, cos( j.z) -f- z, cos(z,z) ,

Z =: X, cos(x.z) + Y, cos(y,z) Z. cos(z, z) ,

Y = X, cos(x,y) -h Y, cos(/,/) ■+- Z, cos(z, j) ,

équations dont les seconds membres se réduisent immédiatement à leurs deux derniers termes , attendu que les angles xy, x,z étant droits, leurs cosinus sont nuis. Mais de plus, comme les axes Oy, Oz peuvent être pris à volonté, pourvu qu’ils soient à angle droit entre eux, et avec Ox ou Ox, , nous profiterons de cette indétermination pour simplifier davantage ces quatre expressions, en prenant l’axe Oj dans le plan x,0/, , et par conséquent l’axe Oz perpendiculaire à ce même plan. Alors on a cos (j,z) = 0 . Ainsi les quatre expressions cidessus peuvent s’écrire comme il suit :

y = y, cos(y,y) -f- z, cos (z,/) , z = z, cos (z,z) ,

Z — Z, cos(z,z) , Y = Y, cos(j, j) -f- Z, cos (z,r) ,

KXPHESSIOW ANALVT. DES ÉQUATIONS d’ÉQUIVALEKCE. 235

(ce qu'on vérifierait aisément, à l'aide d'une figure), et en les substituant dans la formule Zj — Ys du moment de la force F, on obtient, après réduction ,

mio. F = Zj — Yz = (Z,7j — Y,z,) cos (r,/) cos(z,2) .

Le coefficient cos (j, y) cos (z, z) n’est jamais nul, car l’angle (y, jr) est le complément de l’angle x,Oy„ et ne peut être droit, sans quoi les axes Oj:, , O/,, seraient suivant une même droite; l'angle (z, z) est le complément de l’angle de l’axe Oz. , avec le plan et, s’il était droit, les trois

axes Ox,y Oy,y Oz, , seraient dans un même plan.

Ainsi, dans le système des axes obliques, le moment d’une force par rapport à l’axe Ox, a pour expression

a étant un coefficient qui dépend des angles respectifs des axes. Donc, pour un nombre quelconque de forces, la somme algébrique de leurs moments, par rapport à l’axe Ox, , sera

et pour qu’elle soit nulle, il faut et il suffit que l’on ait

En appliquant ce résultat aux trois axes, on voit que les trois équations des moments, nécessaires et suffisantes pour l’équilibre quand la résultante de tr.inslation est nulle, ont précisément, dans le cas des axes obliques, les mêmes formes [107] trouvées au numéro précédent.

369. Équations d’ équivalence. Soient deux systèmes équivalents de forces: F, F'',...F^“* d’une part, FJ, FJ', F"'...F,'”^ d’autre part. Désignons par X , Y, Z les composantes d’une quelconque des premières forces parallèlement à trois axes coordonnés quelconques, et par X, , Y, , Z, les composantes parallèles aux mêmes axes d’une des forces du second système.

On sait que lorsque deux systèmes de forces sont équivalents, les forces de l’un des systèmes fout équilibre à celles de l’autre prises en sens contraires.

Il suffit donc d’écrire que toutes les forces X, Y, Z et toutes

StCT. III. CHAI*. II. § '].

les forces — X,, — Y, , — Z, satisfont aux six équations [io6] et [107] du n“ 367.

On trouve ainsi que l’équivalence des deux systèmes de forces s'exprime par les six équations suivantes :

vx. = 2x , .

2 (Y,x.-X,7.) = 2 (Y^-Xr).

370 . Appliquons ces formules au cas où les forces X, Y, Z, en nombre quelconque, ont une équivalente unique, c'est-à* dire une résultante dont les composantes seront X. , Y,, Z. , et qui sera dirigée suivant une droite dont l’un des points aura pour coordonnées x, , 7, , z, . Nous aurons les six équations

Z, 7. — Y.z. =Z= X;(Z 7 — Yz) , j