COUPLES

d'où résulte cette proposition :

Théobème. Lorsqu’un système de forces a une résultante, les trois sommes algébriques des moments de ces forces par rapport a trois axes conjugués rectangulaires Ox , Oy, Oz, étant calculées en prenant le sens positif de la rotation virtuelle de Ox vers Oy, de 0 / vers Oz, et de Oz vers Ox, la somme des trois produits obtenus en multipliant chaque somme de moments par la somme des projections des forces sur le même axe auquel se rapportent ces moments, se réduit à zéro.

Il est bien entendu que, si les sommes de projections sur les axes étaient toutes trois nulles, il n’y aurait pas de résultante ( 36 a), bien que l’équation [iio] fût satisfaite.

371 . Réciproquement, lorsque l’équation [iio] est satisfaite, sans que les sommes j 2^5 soient nulles

toutes trois, il y a une résultante, parce qu’on peut trouver six quantités X,,Y,, Z,, x,, y,, z,, qui satisfassent aux six équations [io8] et [109] du n“ 3 yo.

Soit, par exemple, , ayant une valeur autre que zéro : on se donnera , et l’on tirera de [109]

Mx + z.lY

les six équations d’équivalence seront donc satisfaites.

§ 8. Cas particuliers des couples.

37 'i. Il est aisé de voir que la somme des moments d’un couple ( 36 a), par rapport à un axe perpendiculaire à son plan est constante, quel que soit cet axe, et égale au produit de l’une des forces multipliée par la distance entre les deux forces. Le signe de cette somme algébrique, qui s’appelle,

(*) Pur la théorie de l’élimination en algèbre, on sait que pourvu que les quantités X,,Y„ Z„ ne soient pas nulles» toutes trois, l’équation finale [iio], prise avec deux des trois équations [109], forme un système de relations équivalent à celui de ces trois équations.

238 st'cr. III. cHAP. II. ^ 8.

pour abréger, le moment du couple y est également indépendant de la position de l'axe perpendiculaire au plan du couple , et reste le même pour tous les mouvements virtuels de rotation de même sens.

Soient, par exemple, deux forces P, P' {fig, 47 ), égales, parallèles, et de sens opposés ; prenons successivement leurs moments par rapport à divers axes perpendiculaires à leur plan, en supposant que le sens de la rotation soit toujours de droite à gauclie par en bas.

Par rapport à B , pris à gauche des deux forces , la somme algébrique des moments est

P X AB — F X A'B = P(AB — A'B) = P x AA'.

Par rapport à C, entre les deux forces, la somme des moments est

P X AC -f- F X A'C = P(AC + A’C) = P X AA'.

Par rapport à D, à droite des deux forces, la somme des moments est >

F X AD — P X AD = PfA'D — AD)= P x AA'.

373. Un couple (P, — P) agissant sur un corps solide, ne peut être tenu en équilibre par une troisième force Q, car la résultante de translation des trois forces P, — P, Q , ne

peut être nulle. Mais l'équilibre peut exister entre deux couples (P, — P ) , ( Q , — Q ) : <7 suffit , pour cela , que leurs v

plans soient parallèles , et que leurs moments soient égaux et de signes contraires. C’est ce que l’on voit clairement en prenant {fig. 48 ) les axes Ox, Ojr, dans le plan du couple (P, — P), l'un, Ox, parallèle aux forces Q; l’autre, Oj, perpendiculaire à ces forces, et l’axe Oz, perpendiculaire aux plans des couples. Les six conditions d’équilibre sont visiblement satisfaites.

Corollaire 1*'. Deux couples dont les plans sont parallèles, et dont les moments sont égaux et de même signe, sont équivalents.

Corollaire Un couple peut toujours être remplacé par un couple équivalent dont l'une des forces ait une intensité

coupi.es.

donnée et une direction donnée parallèle au plan du premier couple.

374. Réciproquement, lorsque deux couples sont en équilibre, leurs plans sont parallèles et leurs moments sont égaux et de signes contraires. En effet, supposant que les plans des deux couples se coupent, on peut prendre dans le plan du premier couple un axe de moments qui rencontre la commune intersection, et transporter au point de rencontre l’une des forces du second couple. Trois moments partiels sont nuis alors , mais le quatrième ne l’est pas , parce que la quatrième force ne peut ni être parallèle à l’axe, ni le rencontrer. Doue , dans le cas d’équilibre, les plans sont parallèles. L’égalité des moments est une conséquence immédiate de l’une des six conditions de l’équilibre.

375. Théorème. Tant de couples qu’on voudra , appliqués à un corps solide , peuvent , s’ils ne se détruisent pas , se réduire à un seul; car leur résultante de translation étant nulle, ils peuvent être remplacés par deux équivalentes dont la résultante de translation est nulle (SSg), c’est-à-dire, par un couple.

376. Un système de forces peut toujours se réduire à un système équivalent composé d'une force passant par un point donné et d’un couple. En effet (36o) on peut le réduire à deux équivalentes S, T, la première passant en un point O choisi arbitrairement. Appliquons à ce point O deux forces T, et — T,, directement opposées entre elles, égales et parallèles à T. Les forces S et T, peuvent se composer en une seule R; les deux autres, — T, et T, formeront un couple : c’est ce qu’il fallait démontrer.

On voit, 1 ° que la force R est égale à la résultante de translation , et peut s’appliquer en un point quelconque O , en modifiant convenablement le couple; 2 ° que, pour un même point O , choisi arbitrairement , comme se trouvant sur la direction de la force R, tous les couples qui peuvent à volonté remplacer T et — T , , sont équivalents , c’est-à-dire , qu’ils sont dans des plans parallèles, et qu ils ont des moments égaux et de même signe.

§ y. Cas particulier des forces situées dans lui plan.