FORCES DANS UN PLAN

parmi toutes les droites de ce plan qui concourent en a, une seule, G', est dans un même plan avec G ; une seule aussi, B', est parallèle à B ; toutes les autres rencontrent B sans rencontrer G.

Il s’ensuit que trois forces qui ne sont pas dans un même plan ne peuvent être en équilibre ; car si l’on prend un axe de moments qui, rencontrant deux d’entre elles, ne soit pas dans un même plan avec la troisième , le moment de celle-ci ne sera pas nul (laa), parce que ni l’un ni l’autre de ses facteurs ne sera nul. Donc trois forces en équilibre sont dans un même plan.

Gorollaibb. Deux forces F', F" qui ne sont pas dans un même plan ne peuvent avoir une résultante R, puisque sou opposée — R ferait équilibre aux deux forces F', F".

380. Trois forces en équilibre concourent en un même point ou sont parallèles entre elles. En effet, i°si deux d’entre elles concourent, leur moment par rapport au point d’intersection est nul; donc il en est de même de la troisième. 2° Si deux des trois forces «sont parallèles, leur projection sur une droite perpendiculaire à leur direction est nulle; donc il en est de même de la troisième.

381. L’équation des moments 23IL„,F = o appliquée à trois forces en équilibre prouve que si d’uii point situé sur l’une des forces on abaisse des perpendiculaires sur les deux autres, ces perpendiculaires sont réciproquement proportionnelles aux deux forces.

382. Les questions relatives à l’équilibre de trois forces peuvent se ramener à la considération de la résultante de deux de ces forces, laquelle doit être égale et opposée à la troisième force.

Problème. Trouver la résultante de deux forces dans un plan. 1° Si les deux forces concourent, on détermine leur résultante au moyen du parallélogramme des forces, soit géométriquement, soit par le calcul immédiat (207) ou par l’emploi des projections sur deux axes (ao4).

2° Si les deux forces sont parallèles, supposons d’abord qu’elles agissent dans le même sens , que leurs intensités soient

représentée» par F', F", et que la distance qui les sépare soit désignée para. Appelons R l'intensité de la résultante, et x sa distance à la force F' {fig. 5 o).

Si l’on prend les axes de projections, dans le plan des forces, l’un perpendiculaire , l’autre parallèle à ces forces , et l’axe O des moments perpendiculaire à leur plan et rencontrant F' en O, on satisfait aux trois conditions d’équivalence (378) en prenant R parallèle à ses composantes ^ dans le même sens, et en posant

R = F + F' et Rx' == F"a ,

d’où il résulte que x est plus petit que a, et que par conséquent la résultante R est située entre les deux forces.

Si l'on prenait l’axe des moments sur la résultante, en appelant x" sa distance à la force F", l'équation des moments deviendrait F'x'=:F"x",

relation comprise dans les deux précédentes , d'où on la tire en éliminant R et en remplaçant a — x' par x'. Ainsi la résultante de deux forces parallèles de même sens partage V intervalle, fies deux composantes en deux parties réciproquement proportionnelles à ces deux forces. Il est évident qu’elle partage dans le même rapport toute droite joignant deux points pris respectivement sur ces deux forces.

Supposons maintenant que les deux forces parallèles F', F' soient dirigées en sens contraires {fig. 5 i), et que F' soit la plus petite des deux. Prenant encore les axes de projections l’un perpendiculaire, l’autre parallèle aux forces, et l’axe des moments traversant F', appelant a la distance de deux forces, et x' la distance de R à F', comptée positivement en allant de F à F" et au delà ; on satisfait aux conditions d’équivalence (378) en prenant R parallèle à ses composantes, dans le sens de la plus grande, et en posant

R = F' — F' et Rx = F'a ,

d’où il résulte que x est, dans ce cas, plus grand que a, et que par conséquent la résultante est en dehors de l’intervalle des deux forces , du côté de la plus grande. Sa distance x” à la plus grande serait donnée par l’équation des moments